3數學課堂規(guī)范的形成和發(fā)展
在過去很長時間里，由于受“二元論”哲學認識論和行為主義心理學理論的影響，研究者關于教學過程主體地位存在著紛爭，就是“教師中心”和“學生中心”的爭論【4】．體現在教師中心的課堂里，就是教師是教學的主體，對整個教學過程起著主宰和控制作用，教學方式以灌輸為主；學生是
知識的被動接受者，教師施與合適的刺激，學生做出相應的反應，并且這種反應是可控和可測的．
這種教學方式的課堂規(guī)范的主要特點是教師給予的可控性、強化性和學生被動的反應性．主要體現在教師課前將整體的知識還原成“刺激一反應”的許多部分，信奉部分之和就是原來的整體，教師只需對每一“刺激一反應”確立好適宜的控制和管理即可．這種規(guī)范管理只需控制好紀律、秩序，學生遵守外部施與的控制正確發(fā)出反應即可．而這種課堂規(guī)范作用下的數學觀就是“數學就是一堆雜亂的公式、法則，這些公式和法則之間沒什么聯系，掌握好這些公式和法則就學好了數學”，來源于數學自身的規(guī)范和標準蕩然無存．管理課堂活動和支配課堂師生交互和數學工作自身的規(guī)范之間不存在聯系．
而以“學生中心”的數學課堂管理規(guī)范主要來自于“二元論”哲學認識論和極端建構主義認識論，以及強調個人認知特征的心理學理論．這一方面削弱了教師的地位和作用，另一方面過分強調了學生的興趣、愛好、稟賦和主觀能動性．所謂的數學規(guī)范顯得無序和混亂，學生過分的自由和個性犧牲了數學學科自身具備的規(guī)范和標準，也犧牲了課堂本來具有的社會規(guī)范功能．
20世紀80年代，隨著社會建構觀、情境認知理論和社會文化活動理論的興起和發(fā)展，“教學是一種或共同統(tǒng)一的活動”成為共識．由于教學中具有多實體、多關系，因而教學具有了復雜性．教學就是師生在某種情境下進行的某種交互活動．我國《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》規(guī)定：“數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往與共同發(fā)展的過程．”15]《數學課程標準(實驗稿)解讀》也指出，“數學教學活動就是學生學習數學化，探索、掌握和應用數學知識的活動”，是“經歷數學化過程的活動”，是“學生與教材，以及教師產生交互作用建構數學知識的活動”【6】．
高中數學課程標準還指出，高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發(fā)生發(fā)展過程和本質．數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發(fā)展的歷史足跡，把數學的學術形態(tài)轉化為易于接受的教育形態(tài)．這實際上說的是學生學習高中數學應該遵循什么樣的規(guī)則和達到何種標準，概念理解采取何種方式、邏輯推理應有什么要求、數學本質如何認識以及怎樣體會和把握貫穿數學的主要數學思想方法等，
數學課堂規(guī)范除了具備社會規(guī)范功能外，還應同時兼具數學學科自身的規(guī)范和標準．而后一種規(guī)范是內隱的、動態(tài)變化的，且具有強烈的個體差異性，這主要是由于個體先前經驗和知識基礎不同，參與度和體驗度不一致，領悟、理解學科規(guī)范和標準的層次也不一樣，達到數學規(guī)范和標準的步伐、進度和路徑同樣不相同．這樣，數學課堂規(guī)范的許多子規(guī)則不是預先設置好的，需要根據師生交互的進度、學生自主探究和交流合作的水平和進展、還有數學過程與方法目標的達成情況生成許多新課堂規(guī)則，或者需要修改原來事先設定的不適合真實課堂事件或學生行動和思維的課堂規(guī)范．因而數學課堂規(guī)范具有極強的生成性．這種因時、因地、因人和因景迥異和變化而生成的規(guī)范稱之為“生成性規(guī)范”．
所以說，管理課堂活動和那些支配課堂交互和數學工作的規(guī)范之間存在必然的聯系，而這些規(guī)范是由教師與學生協商創(chuàng)立和維持的．Wood將課堂規(guī)范定義為：“是由那些存在于教師和學生之間的期望和義務連接而成的網絡系統(tǒng)，它直接影響學生和教師運用這些規(guī)則進行相互作用的效果，進而影響浮現在參與者之間的交流水平．”【7】這些“潛藏的規(guī)則指導參與者在課堂里的行為……成為構成課堂文化交互的合理的方式”．
也就是說數學課堂規(guī)范不僅要關注一般課堂交互有何價值上來，而且需注意師生之間是怎樣參與關于數學交互的．比如，McClain和Cobb~8J發(fā)現教師最基本的一個挑戰(zhàn)是在討論解答時，一方面需克服給所有學生提供方向和結構，另一方面又需遵循學生自己的興趣和解釋，而它們之間總會產生分歧．當班級就有價值且不同的數學解法進行工作時，教師會綜合平衡這些觀點來維持有價值的、高效的、深度數學化的解法．即作為有價值的、高效的解答的課堂規(guī)范是給予學生學習算術的方法，維持合理推理的發(fā)展，特別是運算性質的代數性理解．
4數學課堂規(guī)范的特征
4．1數學課堂規(guī)范是“預成性”和“生成性”統(tǒng)一的結果
課堂紀律、秩序和管理制度是保證一節(jié)課成功的重要因素．而這些社會性規(guī)范是一個學校、一個班級長期受社會文化和校園文化浸潤的結果，在一節(jié)課中帶有強烈的約束性．這些規(guī)則往往是事先預設的，因而這些規(guī)范具有“預成性”．另外，一些“大”的數學教與學的標準、理念和規(guī)則，還有學科自身的規(guī)范和標準在一節(jié)數學課中是隱性的，是鑲嵌在師生的交互過程中的，同樣具有“預成性”．
但這種“預設性”規(guī)范不是教師在課堂上孤立地創(chuàng)生的，而是多種因素共同作用而成的．學校、街道社區(qū)和社會環(huán)境長期以來影響著課堂上所發(fā)生的一切，家庭和學生會產生影響參與者的經歷和行為．這樣，教師、學生和家庭能深刻影響誰學習和怎樣學；誰開始談論，談什么；誰參與和怎樣參與；能夠被認可的解答和問題種類等．這些都由那些被帶到課堂的參與史和參與者的經歷所決定．形成的參與過程不總是清晰地完成，會受那些教師、學校和社區(qū)所隱含的目標、信念、認同所驅使．Boaler和Greeno報告說在不同教室里構成的數學學習方面的實踐可能有巨大的差異，也存在不同的數學理解．這樣，研究者所提倡的課堂里形成的學習機會和規(guī)范要求清楚而綜合地注意到誰獲得參與和怎樣參與，并且應注意規(guī)范形成的方式影響哪些學生學習、他們學什么和他們怎樣學數學．
另一方面，真實的數學課堂也是動態(tài)變化的，在師生交互過程中，會因數學化的進度、環(huán)境的差異、人際關系的調整和課堂進程的變化而變化．那么，師生在互動過程中協商生成的數學課堂規(guī)范也會因之而變化，沒有一套理想的完全預先設置好的課堂規(guī)范來統(tǒng)攝整堂數學課．因此，數學課堂規(guī)范是動態(tài)“生成”的，是由教師、學生、教材和環(huán)境4個因素交互而成的．
課堂規(guī)范通過在參與過程中不斷地協商而發(fā)展．數學是在數學認知群體間不斷協商和約定俗成的，在數學實踐過程中浮現的課堂數學活動也是通過課堂微觀文化圈逐步約定俗成的，并且被認為是合理的．按照McClain等的說法，“數學活動和對話的背景是由先前數學意義的協商的結果和目前課堂的社會規(guī)范構成的”，Lampert宣稱發(fā)展數學課堂規(guī)范起始于一學年的開端，但也通過規(guī)范的再協商貫穿學年始終．
創(chuàng)造規(guī)范不是單單伴隨著教師講授和行動而出現的．教師和學生一起進行數學工作時，那些在這些實踐中的參與方法，維持這些實踐發(fā)展的語言，會相互作用形成規(guī)范，然后教師再用這些規(guī)范來維持學生的學習．這樣，規(guī)范的發(fā)展就需不斷地再協商．按照Much和Shweder(1978)的觀點，再協商出現的原因主要是教師或學生的期望沒實現，或者覺察到破壞了某個社會規(guī)范或數學標準．因而，數學課堂規(guī)范與數學教學一樣，具有極強的“生成性”．
4．2學生數學觀念影響數學課堂規(guī)范的發(fā)展
學生是帶著有限的關于做數學的觀念來到教室的．在一項關于小學一年級課堂的早期研究里，Franke和Carey發(fā)現學生對何謂做數學和在課堂上成功地做數學有很清楚的表達．學生解釋說對數學反應快就意味著擅長數學，或者說擁有一種策略的任何學生皆意味著精通數學，并且在課堂內的學生的這些反應皆很一致．
像這些一年級的學生一樣，許多學生對于在數學課堂里何謂構成參與只產生了有限的觀念，常常帶著包括就教材進行工作，解決練習冊上的問題，聽教師解釋，完成和快速完成任務等期望進入課堂的．學生代表性地不將解釋他們的思維作為做數學的一部分，不將對數學想法的判斷作為數學加工過程的一部分．這使創(chuàng)生的維持通過不斷進行數學討論來理解發(fā)展的課堂規(guī)范面臨挑戰(zhàn)，對那些已經擁有許多傳統(tǒng)學校經歷的初、高中學生更是如此．
取決于某人的理論觀，創(chuàng)造參與機會的討論可能集中于設置規(guī)則、創(chuàng)設學習的背景、或者發(fā)展一系列的課堂規(guī)范．當對于每一種情況，都必須關注于形成一種維持學生學習和發(fā)展某種做數學的傾向的環(huán)境．無論怎樣，考慮到創(chuàng)立特定類型的數學課堂目標的中心是數學意義的結構和討論，這樣不同形式的學生觀念和參與都是可接受和期望的，所以詳細說明不同規(guī)范的作用和發(fā)展是關鍵．Cobb等(1991)強調采用一種聚焦于課堂社區(qū)文化觀是必要的．即使某人的基本關注是理解學生個人的數學知識的建構，個人的數學學習也要受數學實踐和通過課堂協調的規(guī)范雙重的影響．
因此，學生的數學觀制約著數學課堂規(guī)范的預設和生成過程，但這種合理的、不同的觀念使數學課堂規(guī)范極具復雜性．應該通過設置動態(tài)的課堂規(guī)范引導學生在做數學的過程中修正或改變自己不合理的觀念，使得學生的數學行為和思維規(guī)則和標準逐漸貼近“大”的數學標準、理念和規(guī)則．
4．3社會規(guī)范和數學課堂規(guī)范之間有差異
在考慮維持數學理解的課堂規(guī)范時，需考慮那些在課堂里的社會交互作用的規(guī)范，這些規(guī)范是由形成課堂常態(tài)的一系列規(guī)則組成的．這些課堂規(guī)范可以運用到任何學科領域，對數學來說不是獨特的，但可以通過解釋、判斷和論證的刻畫來維持課堂文化．課堂規(guī)范，通過教師和學生交互性的協商，為可以認同的參與，限制個人的行為等設置框架．從通常的社會規(guī)范觀來看，包括參與者怎樣一起參與：參與者怎樣使用工具，怎樣一起工作，傾聽，尊重相互的觀點和決定維持參與的語言．所謂“無以規(guī)矩不成方圓”的“規(guī)矩”就是課堂里的社會規(guī)范．
比如，代欽總結了日本的課堂教學對應著5個階段的規(guī)范：復習已學過的課程，提出當天要解決的問題，學生獨立或小組合作學習，討論解決方法，贊揚或總結主要觀點．很明顯，這基本對應著我國的教師備課和上課所采用的策略規(guī)范，這些規(guī)范主要是“預成”的社會規(guī)范，也融合著“做”數學的規(guī)范．
另一方面，：Kazemi和Stipek發(fā)現有4種利于概念學習和理解的數學課堂規(guī)范：(1)解釋靠數學推理支撐；(2)錯誤創(chuàng)造出進一步作用于數學想法的機會；(3)學生在策略間發(fā)現數學聯系；(4)通過數學論據獲得一致意見．他們得出結論：教師對于概念的思維設置高的要求時，有利于這4種類型規(guī)范的發(fā)展，數學不僅驅動活動的演進，也驅動學生解釋的發(fā)展，進而提高學生的理解．
Yackel和Cobb主張：在數學課堂里，規(guī)范是針對數學活動而發(fā)展的，并且指導數學工作，規(guī)范不僅僅是通常管理討論的那些規(guī)范．這些規(guī)范是與Lampertt列的從事于數學的爭論或修正一個數學解釋的觀念緊密匹配的．Yackel和Cobb稱之為社會數學規(guī)范．知道期望一個人解釋某人的思維是社會規(guī)范；知道什么作為有價值的并可接受的數學解釋是社會數學規(guī)范．數學規(guī)范包括那些被稱為有共同標準和規(guī)范的數學差異類型、豐富的數學經驗和直覺種類、高效益的數學推理和判斷方式，以及合理的數學解釋層次和水平等方面的規(guī)范．
社會規(guī)范雖然貫穿整個數學課堂的全過程，但它只是保證學生參與交互“做”數學的前提和條件，而不具有數學學科自身的規(guī)范和標準．數學規(guī)范本身是用來保證學生數學工作的“數學化”和“再創(chuàng)造”．所以，社會規(guī)范與數學課堂規(guī)范具有差異，數學課堂規(guī)范包含了社會規(guī)范，但社會規(guī)范不囊括數學規(guī)范．
4．4創(chuàng)生數學課堂規(guī)范就是創(chuàng)造一種信任和尊重的學習氣氛
既然師生是在數學活動中進行交互，這種交互包括觀察、質疑、討論和交流，那么創(chuàng)造一種良好的教學氛圍就顯得格外重要了．具有社會規(guī)范和數學規(guī)范功能的數學課堂規(guī)范的預成和生成就顯得很重要了．通過合理的社會規(guī)范和數學規(guī)范的設置，才能保證學生遵循學校規(guī)范、道德習俗、紀律秩序等前提下，運用已有觀念、知識和經驗生成符合數學規(guī)范和標準的各種數學思維和行動“產品”．
Silver等在QIJASAR方案的課堂里發(fā)現對于數學討論群體的發(fā)展，創(chuàng)造信任和相互尊重的氛圍是關鍵．特別地，他們匯報在維持學生共享其它的解釋和質疑相互的想法時，避免批評和責備，集中于尊重相互的想法就顯得很重要．他們指出圍繞注意語言在發(fā)展規(guī)范過程中的重要性．在這里，他們談到應維持和注意學生所使用的語言，發(fā)展共享的語言詞匯，尊重共享觀念時學生所使用語言的各種方法，
維系使用每個人都理解的語言來共享信息．他們發(fā)現用各種方法讓學生一起參與，以便挑戰(zhàn)相互問的思維和判斷他們之間的想法等面臨挑戰(zhàn)．他們建議在集中數學發(fā)展規(guī)范之前，應該先發(fā)展社會規(guī)范．在協商和生成數學課堂規(guī)范以前，應先通過社會規(guī)范的約束營造一種良好的、值得信任和尊重的、能激發(fā)學生學習欲望和興趣的氛圍．