既然任何數(shù)學(xué)分支都是數(shù)學(xué)化的結(jié)果。各門(mén)科學(xué)的發(fā)展都有數(shù)學(xué)化的功勞，那么在數(shù)學(xué)教育過(guò)程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考與研究各種現(xiàn)象，形成數(shù)學(xué)的概念，運(yùn)算的法則，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這也就是理所當(dāng)然的事了。正如弗賴登塔爾所說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過(guò)數(shù)學(xué)化來(lái)進(jìn)行。”
當(dāng)然，我們所說(shuō)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，并不是不要數(shù)學(xué)學(xué)科的“科學(xué)性”和“嚴(yán)謹(jǐn)性”。在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育者的眼中，學(xué)習(xí)者從一個(gè)具體的情境問(wèn)題開(kāi)始到得出一個(gè)抽象數(shù)學(xué)概念的教育全過(guò)程就是數(shù)學(xué)化的過(guò)程，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”就是“數(shù)學(xué)化”。
需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)化是一個(gè)過(guò)程，是一個(gè)從一個(gè)問(wèn)題開(kāi)始，由實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題，由具體問(wèn)題到抽象概念，由解決問(wèn)題到更進(jìn)一步應(yīng)用的一個(gè)教育全過(guò)程，而不是方程、函數(shù)等等之類的具體的數(shù)學(xué)素材。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課本是“教給”學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)成結(jié)果的教材，最容易忽略的就是過(guò)程。把數(shù)學(xué)化作為數(shù)學(xué)課本內(nèi)容的一部分，是要使課本成為學(xué)生自己去“發(fā)現(xiàn)”一些已有數(shù)學(xué)結(jié)果的輔導(dǎo)書(shū)。通過(guò)一個(gè)充滿探索的過(guò)程去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓已經(jīng)存在于學(xué)生頭腦中的那些非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)體驗(yàn)上升發(fā)展為科學(xué)的結(jié)論，從中感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、，從而達(dá)到素質(zhì)教育的目的。
現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育所說(shuō)的數(shù)學(xué)化有兩種形式：
（１）實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)學(xué)成分，并對(duì)這些成分做符號(hào)化處理；
（２）從符號(hào)到概念的數(shù)學(xué)化，即在數(shù)學(xué)范疇之內(nèi)對(duì)已經(jīng)符號(hào)化的問(wèn)題作進(jìn)一步抽象化處理。
對(duì)于前者，基本流程是：
(1)確定一個(gè)具體問(wèn)題中包含的數(shù)學(xué)成分；
(2)建立這些數(shù)學(xué)成分與學(xué)生已知的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系；
(3)通過(guò)不同方法使這些數(shù)學(xué)成分形象化、符號(hào)化和公式化；
(4)找出蘊(yùn)含其中的關(guān)系和規(guī)則；
(5)考慮相同數(shù)學(xué)成分在其他數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域方面的體現(xiàn)；
(6)做出形式化的表述。
對(duì)于后者，基本流程是：
(1)用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)系；(2)對(duì)有關(guān)規(guī)則做出證明；(3)嘗試建立和使用不同的數(shù)學(xué)模型；
(4)對(duì)得出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和加工；(5)綜合不同數(shù)學(xué)模型的共性，形成功能更強(qiáng)的新模型；(6)用已知數(shù)學(xué)公式和語(yǔ)言盡量準(zhǔn)確的描述得到的新概念和新方法；(7)作一般化的處理、推廣。
不過(guò)通過(guò)數(shù)學(xué)化得到一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念之后，還需要對(duì)已經(jīng)得到的概念、模型、技巧作進(jìn)一步的調(diào)整和把握，即解釋和說(shuō)明得出的結(jié)果；討論新模型或方法的使用范圍；回顧、總結(jié)和分析已經(jīng)完成的數(shù)學(xué)化過(guò)程。
可以看到，一個(gè)現(xiàn)實(shí)情景所提供的信息是現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)。而情景問(wèn)題與數(shù)學(xué)化又是結(jié)合在一起的。在“一浪接一浪”的數(shù)學(xué)化進(jìn)程中，學(xué)習(xí)者經(jīng)歷了一個(gè)又一個(gè)由現(xiàn)實(shí)的情景問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題，由不那么嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體驗(yàn)到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，由數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”到數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用。
3．再創(chuàng)造
學(xué)生“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”(doing mathematics )的過(guò)程，這是目前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要觀點(diǎn)。它強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)、理解和反思的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要性，強(qiáng)調(diào)激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的重要性，并認(rèn)為做數(shù)學(xué)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要條件。弗賴登塔爾說(shuō)的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學(xué)過(guò)程再現(xiàn)。針對(duì)實(shí)踐中頻頻出現(xiàn)的“教學(xué)法的顛倒”，“將數(shù)學(xué)作為一種活動(dòng)來(lái)進(jìn)行解釋和分析”的狀況，設(shè)身處地的“設(shè)想你當(dāng)時(shí)已經(jīng)有了現(xiàn)在的知識(shí)，你將是怎樣發(fā)現(xiàn)那些成果的；或者設(shè)想一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程得到指導(dǎo)時(shí)，他是應(yīng)該怎樣發(fā)現(xiàn)的”。。當(dāng)然，這不是簡(jiǎn)單地“由學(xué)生本人把學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作。”也不是簡(jiǎn)單的“教師指導(dǎo)下的學(xué)生活動(dòng)”。。而是通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)，創(chuàng)造問(wèn)題情景，通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)研究、合作商討，探索問(wèn)題的結(jié)果并進(jìn)行組織的學(xué)習(xí)方式。
需要特別注意的是，弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論不是“教育學(xué)+數(shù)學(xué)例子”式的論述，而是抓住數(shù)學(xué)教育的特征，緊扣數(shù)學(xué)教育的特殊過(guò)程，因而有“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”、“數(shù)學(xué)化”、“數(shù)學(xué)反思”、“思辨數(shù)學(xué)”等諸多特有的概念。他的著作多數(shù)根據(jù)自己研究數(shù)學(xué)的體會(huì)，以及觀察兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷，思辨性的論述比較多。于是有人批評(píng)說(shuō)弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論缺乏實(shí)踐背景和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。其實(shí)，他的許多研究成果尚未被大家仔細(xì)研究。有興趣的讀者不妨閱讀他的著作。