一、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育的主要特征
總體上講弗賴登塔爾所認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)教育有五個(gè)主要特征：
（1）情景問題是教學(xué)的平臺(tái)；
（2）數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的目的；
（3）學(xué)生通過自己的努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容的一部分；
（4）“互動(dòng)”是主要的學(xué)習(xí)方式；
（5）學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式。
這些特征又可以用三個(gè)詞加以概括――現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造。
1．何謂數(shù)學(xué)教育中的現(xiàn)實(shí)
弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而且每個(gè)學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生的任知規(guī)律，已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的實(shí)際，靈活處理教材，根據(jù)實(shí)際需要對(duì)原材料進(jìn)行優(yōu)化組合。把例題生活化，讓學(xué)生易懂易學(xué)。通過設(shè)計(jì)與生活現(xiàn)實(shí)密切相關(guān)的問題，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活有密切聯(lián)系，從而體會(huì)到學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)于我們的生活有很大的幫助，無形當(dāng)中產(chǎn)生了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。這也就是弗賴登塔爾常常說的數(shù)學(xué)教育既是現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育。
關(guān)于情景問題，弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生了解周圍的世界，周圍的世界應(yīng)該是學(xué)生探索的源泉，而數(shù)學(xué)課本從結(jié)構(gòu)上應(yīng)當(dāng)從與學(xué)生生活體驗(yàn)密切相關(guān)的問題開始。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和解決實(shí)際問題，實(shí)際數(shù)學(xué)化。
情景問題與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課本中的例子有相通之處，既他們都被用來引用數(shù)學(xué)概念和理解數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)，區(qū)別之處在于，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課本一般都按照科學(xué)的體系展開，不太重視屬于學(xué)生自己的一些非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識(shí)的作用。在這種直接式的結(jié)構(gòu)當(dāng)中，常規(guī)性、經(jīng)驗(yàn)性的知識(shí)一般派不上用場(chǎng)，學(xué)生只要注意課本提供的數(shù)學(xué)題目的計(jì)算和解答就行了。完全不用考慮它們的實(shí)際意義。而弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的情景問題是直觀的，容易引起想象的數(shù)學(xué)問題。隱含在這些數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)背景是學(xué)生熟悉的事物和具體情景，而且與學(xué)生已經(jīng)了解或?qū)W習(xí)過的數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián)，特別是要與學(xué)生生活中積累的常識(shí)性知識(shí)和那些學(xué)生已經(jīng)具有的，但未經(jīng)訓(xùn)練和不那么嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體驗(yàn)相關(guān)聯(lián)。
在運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，必須明確認(rèn)識(shí)以下幾點(diǎn)：
第一，數(shù)學(xué)的概念，數(shù)學(xué)的運(yùn)算、法則，以及數(shù)學(xué)的命題，都是來自于自然世界的實(shí)際需要而形成的，是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映和人類經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來自于現(xiàn)實(shí)世界。把那些最能反映現(xiàn)代生產(chǎn)，現(xiàn)代社會(huì)生活需要的最基本、最核心的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能作為數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容。
第二，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，是現(xiàn)實(shí)世界同一類事物或現(xiàn)實(shí)抽象而成的量化模式。而現(xiàn)實(shí)世界事物、現(xiàn)象之間又充滿了各種各樣的關(guān)系和聯(lián)系。從而，數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容就不能僅僅局限于數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系。就中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來講，不能只考慮代數(shù)、幾何、三角之間的聯(lián)系，還應(yīng)該研究數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界各種不同領(lǐng)域的外部關(guān)系和聯(lián)系。如，與日常生活，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，貨幣流通和商品生產(chǎn)經(jīng)營，以及其他學(xué)科等聯(lián)系。這樣才能使學(xué)生一方面獲得既豐富多彩而又錯(cuò)綜的“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”內(nèi)容，掌握比較完整的數(shù)學(xué)體系。另一方面，學(xué)生也有可能把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界中去。
第三，社會(huì)需要的人才是多方面的，不同層次、不同專業(yè)所需的數(shù)學(xué)知識(shí)不盡相同。因而，數(shù)學(xué)教育應(yīng)為不同的人提供不同層次的數(shù)學(xué)知識(shí)。也就是說，不同的人有不同需要的“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)教育所提供的內(nèi)容應(yīng)該是學(xué)生各自的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，即“學(xué)生自己的數(shù)學(xué)”。通過“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)”，學(xué)生就可以通過自己的認(rèn)知活動(dòng)，構(gòu)建數(shù)學(xué)觀，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。
2．數(shù)學(xué)化
什么是數(shù)學(xué)化呢？弗賴登塔爾認(rèn)為，人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)、和改造客觀世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程，就叫數(shù)學(xué)化。說簡(jiǎn)單點(diǎn)，數(shù)學(xué)的組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化。
一提到數(shù)學(xué)化，人們就會(huì)聯(lián)想到數(shù)學(xué)教學(xué)的“科學(xué)性”和“嚴(yán)謹(jǐn)性”，感覺到它距離我們很遙遠(yuǎn)。實(shí)際上，數(shù)學(xué)化是一種由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過程。一般來講，數(shù)學(xué)化的對(duì)象，一是數(shù)學(xué)本身；二是現(xiàn)實(shí)客觀事物。對(duì)數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)化，就是深化數(shù)學(xué)知識(shí)，或者是數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，形成不同層次的公理體系和形式體系。對(duì)客觀事物的數(shù)學(xué)化，形成了數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律、定理，以及為解決實(shí)際問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等。
實(shí)際上，在高等學(xué)校里，數(shù)學(xué)系的學(xué)生要學(xué)普通物理，物理系的學(xué)生要學(xué)高等數(shù)學(xué)，研究化學(xué)反應(yīng)時(shí)，把參加反應(yīng)的物質(zhì)的濃度、溫度等作為變量，用方程表示它們的變化規(guī)律，通過方程的“穩(wěn)定解”來研究化學(xué)反應(yīng)。這里不僅要運(yùn)用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，而且要應(yīng)用“前沿上的”、“發(fā)展中的”數(shù)學(xué)。不僅要應(yīng)用加減乘除來處理，而要用復(fù)雜的“微分方程”來描述。研究這樣的問題，離不開方程、數(shù)據(jù)、函數(shù)曲線、計(jì)算機(jī)等。正是各門科學(xué)數(shù)學(xué)化到一定程度，它們才得以發(fā)展到一個(gè)又一個(gè)新的階段。不僅如此，正如前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家格涅堅(jiān)科所說，當(dāng)今的世界“不僅僅是科學(xué)在數(shù)學(xué)化，而且絕大多數(shù)實(shí)踐活動(dòng)也在數(shù)學(xué)化”，“我們的時(shí)代是知識(shí)數(shù)學(xué)化的時(shí)代”。