南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 顧沛
摘要：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”提法，近來(lái)被發(fā)展為“四基”的提法，其中有深刻的背景和原因；“四基”的內(nèi)涵和外延非常豐富；這一發(fā)展對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)全面發(fā)展的人才，意義重大．
關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)教育；數(shù)學(xué)；雙基；四基；發(fā)展
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”提法，在教育部2011年12月28日頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱為《課標(biāo)》)中被發(fā)展為“四基”的提法，即從“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能”發(fā)展為“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”．那么，“雙基”提法為什么要發(fā)展為“四基”的提法?其背景是什么?“四基”提法的內(nèi)涵和外延是什么?“四基”對(duì)于基礎(chǔ)教育的人才培養(yǎng)意義何在?現(xiàn)談?wù)剬?duì)此的一些淺見(jiàn)．
1“雙基”為什么要發(fā)展為“四基”
“雙基”發(fā)展的“四基”，在《課標(biāo)》中的表述為：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．”
早在教育部2001年6月7日頒發(fā)的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》(以下簡(jiǎn)稱為《綱要》)中，就規(guī)定了基礎(chǔ)教育階段所有課程應(yīng)該努力達(dá)到的三維目標(biāo)，即“知識(shí)與技能”、“過(guò)程與方法”、“態(tài)度情感與價(jià)值觀”這樣3個(gè)維度的目標(biāo)．因此，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的課程目標(biāo)首先應(yīng)該符合上述三維目標(biāo)；同時(shí)，還要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)把它們具體化．這種“具體化”，未必僅僅用“四基”就能夠完整、全面地表達(dá)．但限于文章討論的范圍和篇幅，下面只圍繞“四基”論述．
新中國(guó)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，歷來(lái)重視“雙基”，即要求學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，基本技能熟練，這是正確的，其歷史貢獻(xiàn)也是應(yīng)該肯定的，所以《課標(biāo)》中的“四基”繼續(xù)保留和強(qiáng)調(diào)了“雙基”．但是，對(duì)于“雙基”的內(nèi)容，即對(duì)于什么是學(xué)生應(yīng)該掌握的“基礎(chǔ)知識(shí)”和“基本技能”，在“知識(shí)爆炸”的時(shí)代，在現(xiàn)代信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的時(shí)代，在獲取知識(shí)、技能的渠道大大增加的時(shí)代，應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)．
過(guò)去提到數(shù)學(xué)的“雙基”時(shí)，通常是指：數(shù)學(xué)的基本概念、基本公式、基本運(yùn)算、基本性質(zhì)、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基本推理、基本語(yǔ)言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等．
但是許多年來(lái)，“雙基”概念一直在發(fā)展中深化．至2000年，中華人民共和國(guó)教育部制定的《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗(yàn)修訂版)》中的表述，數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)知識(shí)是指：數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法．基本技能是指：能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、作圖或畫圖、進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理”【2】．并且，“雙基”在此已經(jīng)是與思維能力、運(yùn)算能力、空間觀念等相互聯(lián)系表述的．
在“知識(shí)爆炸”的時(shí)代，對(duì)于過(guò)去數(shù)學(xué)“雙基”的某些內(nèi)容，如繁雜的計(jì)算、細(xì)枝末節(jié)的證明技巧等，需要有所刪減；而對(duì)于估算、算法、數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、收集和處理數(shù)據(jù)、概率初步、統(tǒng)計(jì)初步、數(shù)學(xué)建模初步等，又要有所增加．這就是數(shù)學(xué)“雙基”內(nèi)容的與時(shí)俱進(jìn)．
那么，為什么有了“雙基”還不夠，現(xiàn)在還要增加兩條，成為“四基”?這可以有下面3個(gè)理由．第一，因?yàn)?ldquo;雙基”僅僅涉及上述三維目標(biāo)中的一個(gè)目標(biāo)——“知識(shí)與技能”．新增加的兩條則還涉及三維目標(biāo)的另外兩個(gè)目標(biāo)——“過(guò)程與方法”和“態(tài)度情感與價(jià)值觀”．第二，因?yàn)槟承┙處熡袝r(shí)片面地理解“雙基”，往往在實(shí)施中“以本為本”，見(jiàn)物不見(jiàn)人，而教育必須以人為本，新增加的“數(shù)學(xué)思想”和“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”就直接與人相關(guān)，也符合“素質(zhì)教育”的理念．第三，因?yàn)閮H有“雙基”還難以培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，“雙基”只是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的一個(gè)基礎(chǔ)，但創(chuàng)新性人才不能僅靠熟練掌握已有的知識(shí)和技能來(lái)培養(yǎng)，獲得數(shù)學(xué)思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等也十分重要，這就是新增加的兩條．
2關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本思想”
使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想，確實(shí)應(yīng)該作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要目標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生許多必要的結(jié)論，但絕不僅僅以教會(huì)這些定理、公式和計(jì)算程序、解題方法為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓．
但是，《課標(biāo)》在這里并沒(méi)有展開闡述“數(shù)學(xué)的基本思想”有哪些內(nèi)涵和外延，這就給研究則留下了討論的空間．而且由于它過(guò)去并沒(méi)有被充分地討論過(guò)，所以可能仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智，不同的學(xué)者可能會(huì)有不完全一樣的說(shuō)法．這里也談?wù)勛约翰怀墒斓挠^點(diǎn)，與同行交流．
數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵和外延都很豐富，通俗地說(shuō)，例如有從數(shù)學(xué)角度看問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，把客觀事物簡(jiǎn)化和量化的思想，周到、嚴(yán)密、系統(tǒng)地思考問(wèn)題，以及建立數(shù)學(xué)模型的思想，合理地運(yùn)籌帷幄，等等．一個(gè)人進(jìn)入社會(huì)后，如果不是在與數(shù)學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域工作，他學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)定理和公式可能大多都用不到，而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中獲得的這些數(shù)學(xué)思想?yún)s一定會(huì)使他終生受益：雖然有些人對(duì)此是有意識(shí)的，有些人是無(wú)意識(shí)的．《課標(biāo)》在這里的措詞為數(shù)學(xué)的“基本思想”，而不是數(shù)學(xué)的“基本思想方法”，這是明智的、恰當(dāng)?shù)，因(yàn)?ldquo;思想方法”可能更多地讓人聯(lián)想到具體的“方法”，如換元法、代入法、配方法，層次就降低了，且沖淡了“思想”這個(gè)關(guān)鍵詞．并且，其實(shí)雙基中已經(jīng)含有數(shù)學(xué)的這些具體方法．
數(shù)學(xué)的基本思想，主要可以有數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)模型的思想、數(shù)學(xué)審美的思想．人類通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科及其眾多的分支；通過(guò)數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以豐富和發(fā)展；通過(guò)數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的社會(huì)效益，又反過(guò)來(lái)促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展；通過(guò)數(shù)學(xué)審美，看到數(shù)學(xué)“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”、“和諧統(tǒng)一眾多事物”中美的成份，感受到數(shù)學(xué)“以簡(jiǎn)馭繁”、“天衣無(wú)縫”給我們帶來(lái)的愉悅，并且從“美”的角度發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)．
當(dāng)然，由上述數(shù)學(xué)的“基本思想”演變、派生、發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)思想還有很多．例如由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來(lái)的有：分類的思想，集合的思想，“變中有不變”的思想，符號(hào)表示的思想，對(duì)應(yīng)的思想，有限與無(wú)限的思想，等等．例如由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來(lái)的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，普遍聯(lián)系的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等．例如由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來(lái)的可以有：簡(jiǎn)化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機(jī)的思想，統(tǒng)計(jì)的思想，等等．例如由“數(shù)學(xué)審美的思想”派生出來(lái)的可以有：簡(jiǎn)潔的思想，對(duì)稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡(jiǎn)馭繁的思想，“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等．
舉例說(shuō)，“分類的思想”和“集合的思想”可以是這樣由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來(lái)的：人們對(duì)客觀世界進(jìn)行觀察時(shí)，常常從研究需要的某個(gè)角度分析聯(lián)想，排除那些次要的、非本質(zhì)的因素，保留那些主要的、本質(zhì)的因素，一種有效的做法就是對(duì)事物按照其某種本質(zhì)進(jìn)行分類，分類的結(jié)果就產(chǎn)生了“集合”．把它們上升到思想的層面上，就形成了“分類的思想”和“集合的思想”．
在用數(shù)學(xué)思想解決具體問(wèn)題時(shí)，對(duì)某一類問(wèn)題反復(fù)推敲，會(huì)逐漸形成某一類程序化的操作，就構(gòu)成了“數(shù)學(xué)方法”．?dāng)?shù)學(xué)方法也是具有層次的．處于較高層次的，例如有：邏輯推理的方法，合情推理的方法，變量替換的方法，等價(jià)變形的方法，分情況討論的方法，等等．低一層次的數(shù)學(xué)方法，還有很多．例如有：分析法，綜合法，窮舉法，反證法，抽樣法，構(gòu)造法，待定系數(shù)法，數(shù)學(xué)歸納法，遞推法，消元法，降冪法，換元法，坐標(biāo)法，配方法，列表法，圖像法，等等．
數(shù)學(xué)方法不同于數(shù)學(xué)思想．“數(shù)學(xué)思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的；而“數(shù)學(xué)方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的．?dāng)?shù)學(xué)思想常常通過(guò)數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)；數(shù)學(xué)方法又常常反映了某種數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，教師在講授數(shù)學(xué)方法時(shí)應(yīng)該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
3關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”