南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 顧沛
摘要：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”提法，近來被發(fā)展為“四基”的提法，其中有深刻的背景和原因；“四基”的內(nèi)涵和外延非常豐富；這一發(fā)展對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)全面發(fā)展的人才，意義重大．
關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)教育；數(shù)學(xué)；雙基；四基；發(fā)展
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”提法，在教育部2011年12月28日頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱為《課標(biāo)》)中被發(fā)展為“四基”的提法，即從“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能”發(fā)展為“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”．那么，“雙基”提法為什么要發(fā)展為“四基”的提法?其背景是什么?“四基”提法的內(nèi)涵和外延是什么?“四基”對于基礎(chǔ)教育的人才培養(yǎng)意義何在?現(xiàn)談?wù)剬Υ说囊恍\見．
1“雙基”為什么要發(fā)展為“四基”
“雙基”發(fā)展的“四基”，在《課標(biāo)》中的表述為：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗．”
早在教育部2001年6月7日頒發(fā)的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》(以下簡稱為《綱要》)中，就規(guī)定了基礎(chǔ)教育階段所有課程應(yīng)該努力達(dá)到的三維目標(biāo)，即“知識與技能”、“過程與方法”、“態(tài)度情感與價值觀”這樣3個維度的目標(biāo)．因此，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的課程目標(biāo)首先應(yīng)該符合上述三維目標(biāo)；同時，還要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點把它們具體化．這種“具體化”，未必僅僅用“四基”就能夠完整、全面地表達(dá)．但限于文章討論的范圍和篇幅，下面只圍繞“四基”論述．
新中國的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，歷來重視“雙基”，即要求學(xué)生基礎(chǔ)知識扎實，基本技能熟練，這是正確的，其歷史貢獻(xiàn)也是應(yīng)該肯定的，所以《課標(biāo)》中的“四基”繼續(xù)保留和強(qiáng)調(diào)了“雙基”．但是，對于“雙基”的內(nèi)容，即對于什么是學(xué)生應(yīng)該掌握的“基礎(chǔ)知識”和“基本技能”，在“知識爆炸”的時代，在現(xiàn)代信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的時代，在獲取知識、技能的渠道大大增加的時代，應(yīng)該與時俱進(jìn)．
過去提到數(shù)學(xué)的“雙基”時，通常是指：數(shù)學(xué)的基本概念、基本公式、基本運(yùn)算、基本性質(zhì)、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基本推理、基本語言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等．
但是許多年來，“雙基”概念一直在發(fā)展中深化．至2000年，中華人民共和國教育部制定的《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗修訂版)》中的表述，數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)知識是指：數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法．基本技能是指：能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、作圖或畫圖、進(jìn)行簡單的推理”【2】．并且，“雙基”在此已經(jīng)是與思維能力、運(yùn)算能力、空間觀念等相互聯(lián)系表述的．
在“知識爆炸”的時代，對于過去數(shù)學(xué)“雙基”的某些內(nèi)容，如繁雜的計算、細(xì)枝末節(jié)的證明技巧等，需要有所刪減；而對于估算、算法、數(shù)感、符號意識、收集和處理數(shù)據(jù)、概率初步、統(tǒng)計初步、數(shù)學(xué)建模初步等，又要有所增加．這就是數(shù)學(xué)“雙基”內(nèi)容的與時俱進(jìn)．
那么，為什么有了“雙基”還不夠，現(xiàn)在還要增加兩條，成為“四基”?這可以有下面3個理由．第一，因為“雙基”僅僅涉及上述三維目標(biāo)中的一個目標(biāo)——“知識與技能”．新增加的兩條則還涉及三維目標(biāo)的另外兩個目標(biāo)——“過程與方法”和“態(tài)度情感與價值觀”．第二，因為某些教師有時片面地理解“雙基”，往往在實施中“以本為本”，見物不見人，而教育必須以人為本，新增加的“數(shù)學(xué)思想”和“活動經(jīng)驗”就直接與人相關(guān)，也符合“素質(zhì)教育”的理念．第三，因為僅有“雙基”還難以培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，“雙基”只是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的一個基礎(chǔ)，但創(chuàng)新性人才不能僅靠熟練掌握已有的知識和技能來培養(yǎng)，獲得數(shù)學(xué)思想和活動經(jīng)驗等也十分重要，這就是新增加的兩條．
2關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本思想”
使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想，確實應(yīng)該作為數(shù)學(xué)課程的一個重要目標(biāo)．?dāng)?shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會學(xué)生許多必要的結(jié)論，但絕不僅僅以教會這些定理、公式和計算程序、解題方法為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過程中獲得數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓．
但是，《課標(biāo)》在這里并沒有展開闡述“數(shù)學(xué)的基本思想”有哪些內(nèi)涵和外延，這就給研究則留下了討論的空間．而且由于它過去并沒有被充分地討論過，所以可能仁者見仁，智者見智，不同的學(xué)者可能會有不完全一樣的說法．這里也談?wù)勛约翰怀墒斓挠^點，與同行交流．
數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵和外延都很豐富，通俗地說，例如有從數(shù)學(xué)角度看問題的出發(fā)點，把客觀事物簡化和量化的思想，周到、嚴(yán)密、系統(tǒng)地思考問題，以及建立數(shù)學(xué)模型的思想，合理地運(yùn)籌帷幄，等等．一個人進(jìn)入社會后，如果不是在與數(shù)學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域工作，他學(xué)過的數(shù)學(xué)定理和公式可能大多都用不到，而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中獲得的這些數(shù)學(xué)思想?yún)s一定會使他終生受益：雖然有些人對此是有意識的，有些人是無意識的．《課標(biāo)》在這里的措詞為數(shù)學(xué)的“基本思想”，而不是數(shù)學(xué)的“基本思想方法”，這是明智的、恰當(dāng)?shù)，因?ldquo;思想方法”可能更多地讓人聯(lián)想到具體的“方法”，如換元法、代入法、配方法，層次就降低了，且沖淡了“思想”這個關(guān)鍵詞．并且，其實雙基中已經(jīng)含有數(shù)學(xué)的這些具體方法．
數(shù)學(xué)的基本思想，主要可以有數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)模型的思想、數(shù)學(xué)審美的思想．人類通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科及其眾多的分支；通過數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以豐富和發(fā)展；通過數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的社會效益，又反過來促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展；通過數(shù)學(xué)審美，看到數(shù)學(xué)“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”、“和諧統(tǒng)一眾多事物”中美的成份，感受到數(shù)學(xué)“以簡馭繁”、“天衣無縫”給我們帶來的愉悅，并且從“美”的角度發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)．
當(dāng)然，由上述數(shù)學(xué)的“基本思想”演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學(xué)思想還有很多．例如由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的有：分類的思想，集合的思想，“變中有不變”的思想，符號表示的思想，對應(yīng)的思想，有限與無限的思想，等等．例如由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，普遍聯(lián)系的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等．例如由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來的可以有：簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機(jī)的思想，統(tǒng)計的思想，等等．例如由“數(shù)學(xué)審美的思想”派生出來的可以有：簡潔的思想，對稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡馭繁的思想，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等．
舉例說，“分類的思想”和“集合的思想”可以是這樣由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的：人們對客觀世界進(jìn)行觀察時，常常從研究需要的某個角度分析聯(lián)想，排除那些次要的、非本質(zhì)的因素，保留那些主要的、本質(zhì)的因素，一種有效的做法就是對事物按照其某種本質(zhì)進(jìn)行分類，分類的結(jié)果就產(chǎn)生了“集合”．把它們上升到思想的層面上，就形成了“分類的思想”和“集合的思想”．
在用數(shù)學(xué)思想解決具體問題時，對某一類問題反復(fù)推敲，會逐漸形成某一類程序化的操作，就構(gòu)成了“數(shù)學(xué)方法”．?dāng)?shù)學(xué)方法也是具有層次的．處于較高層次的，例如有：邏輯推理的方法，合情推理的方法，變量替換的方法，等價變形的方法，分情況討論的方法，等等．低一層次的數(shù)學(xué)方法，還有很多．例如有：分析法，綜合法，窮舉法，反證法，抽樣法，構(gòu)造法，待定系數(shù)法，數(shù)學(xué)歸納法，遞推法，消元法，降冪法，換元法，坐標(biāo)法，配方法，列表法，圖像法，等等．
數(shù)學(xué)方法不同于數(shù)學(xué)思想．“數(shù)學(xué)思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的；而“數(shù)學(xué)方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的．?dāng)?shù)學(xué)思想常常通過數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)；數(shù)學(xué)方法又常常反映了某種數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，教師在講授數(shù)學(xué)方法時應(yīng)該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
3關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本活動經(jīng)驗”