由于完美數(shù)有許多有趣的性質(zhì)和無與倫比的魅力,2500多年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對它進(jìn)行探究。迄今為止,人類僅發(fā)現(xiàn)47個(gè)完美數(shù),而且都是偶完美數(shù)。至于偶完美數(shù)是否無窮和有沒有奇完美數(shù),至今沒有定論;這已成為數(shù)學(xué)中的著名難題。
古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在名著《幾何原本》中證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè),并論述完美數(shù)時(shí)提出:如果2^P-1是素?cái)?shù)(其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)),則2^(P-1)(2^P-1)是完美數(shù)。瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉證明所有的偶完美數(shù)都有這種形式。因此,人們只要找到2^P-1型素?cái)?shù),就可以發(fā)現(xiàn)偶完美數(shù)了。
數(shù)學(xué)界將2^P-1型素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”(Mersenne prime),因?yàn)榉▏鴶?shù)學(xué)家和法蘭西科學(xué)院奠基人梅森在這方面的研究成果較為卓著。梅森素?cái)?shù)貌似簡單,但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧,而且還需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。
1772年,有“數(shù)學(xué)英雄”美名的歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了2^31-1(即2147483647)是第8個(gè)梅森素?cái)?shù)。這個(gè)具有10位的素?cái)?shù),堪稱當(dāng)時(shí)已知的最大素?cái)?shù)。第8個(gè)偶完美數(shù)——2^30(2^31-1)也由此而來。歐拉的頑強(qiáng)毅力與解題技巧令人贊嘆不已;法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說的話,或許可以代表我們的心聲:“讀讀歐拉,他是我們每一個(gè)人的老師。”
值得提出的是:在梅森素?cái)?shù)的基礎(chǔ)研究方面,法國數(shù)學(xué)家魯卡斯和美國數(shù)學(xué)家雷默都做出了重要貢獻(xiàn);以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素?cái)?shù)素性的最佳方法。此外,中國數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家周海中給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式,為人們尋找梅森素?cái)?shù)提供了方便;這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。
為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù),設(shè)在美國的電子新領(lǐng)域基金會(huì)(EFF)曾向全世界宣布了為通過一個(gè)名為“因特網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)項(xiàng)目來尋找梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的獎(jiǎng)金。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過1000萬位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)10萬美元。后面的獎(jiǎng)金依次為:超過1億位數(shù),15萬美元;超過10億位數(shù),25萬美元。當(dāng)然,絕大多數(shù)研究者參與該項(xiàng)目并不是為了金錢,而是出于興趣、榮譽(yù)感和探索精神。
美國加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家史密斯通過參加GIMPS項(xiàng)目,于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素?cái)?shù)2^43112609-1;該數(shù)也是目前已知的最大素?cái)?shù)。這個(gè)素?cái)?shù)有12978189位;如果用普通字號(4號)將它連續(xù)打下來,其長度可超過50公里!人類也因此發(fā)現(xiàn)了迄今已知的最大偶完美數(shù)——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《時(shí)代》雜志評為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。前不久,他獲得了EFF頒布的10萬美元大獎(jiǎng)。