教學(xué)目標(biāo):
初中,通過實(shí)例體會(huì)方差刻畫數(shù)據(jù)離中趨勢(shì)的意義,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)(樣本)方差;
高中,通過實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)(樣本)標(biāo)準(zhǔn)差;能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并作出合理的解釋。
教學(xué)目標(biāo)解析:
初中階段,通過具體的實(shí)例,結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等刻畫數(shù)據(jù)集中程度的概念,讓學(xué)生體會(huì)極差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差可以刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。并體會(huì)極差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的特點(diǎn)。極差只利用了一組數(shù)據(jù)兩端的信息,不能反映出中間數(shù)據(jù)的離散狀況,提供的只是數(shù)據(jù)粗略的離散情況。
此概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該是在學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)統(tǒng)計(jì)過程的基礎(chǔ)上,體會(huì)方差概念的合理性,不是單純地計(jì)算。在此基礎(chǔ)上,通過新的問題情境,特別是具有現(xiàn)實(shí)背景的問題情境,讓學(xué)生結(jié)合已學(xué)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等,對(duì)數(shù)據(jù)具有的特征進(jìn)行描述。
高中階段,方差和平均差都是刻畫一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的平均程度,通過實(shí)例讓學(xué)生理解方差和平均差刻畫數(shù)據(jù)離中趨勢(shì)的局限性。方差的單位是原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位的平方,然而刻畫離中趨勢(shì)的一種理想度量應(yīng)該具有和均值相同的單位,即是有量綱的統(tǒng)計(jì)量;由于方差和平方有關(guān),對(duì)數(shù)據(jù)集中的極值過于敏感。平均差相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差,由于含有絕對(duì)值,在數(shù)學(xué)上的性質(zhì)要差些,不便于計(jì)算;在衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度大小的功能上,也比方差弱,可以通過簡(jiǎn)單舉例說明。標(biāo)準(zhǔn)差可以克服方差的兩個(gè)局限性,在數(shù)學(xué)性質(zhì)上又要比平均差好,所以是更為合理的統(tǒng)計(jì)量。通過標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差的兩個(gè)性質(zhì),非負(fù)性和標(biāo)準(zhǔn)差等于0意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于平均數(shù)的結(jié)論。
能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并作出合理的解釋。比如,比較兩個(gè)人的成績時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差小意味著成績穩(wěn)定;在描述產(chǎn)品質(zhì)量時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差越小,說明產(chǎn)品的質(zhì)量越穩(wěn)定。