我們所生活的世界，包括我們?nèi)祟愖陨，無非是質(zhì)與量兩個方面。
所謂“質(zhì)”，表現(xiàn)為好壞、優(yōu)劣、善惡、美丑等等；而所謂“量”，則表現(xiàn)為長短、粗細、大小、厚薄、輕重、形狀以及數(shù)量之間的關(guān)系等等。數(shù)學(xué)就是從量的角度把握和解釋世界的一種努力，所以數(shù)學(xué)是一種思想，一種解釋世界的方式，一種精密的語言系統(tǒng)。數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的概括和反映。
“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评，以及對完美境界的追求?rdquo;(R．柯朗等著，王浩等譯：《數(shù)學(xué)是什么》，湖南教育出版社，1985年版，5頁)正如美國數(shù)學(xué)史家M·克萊因所說的那樣，“任何時候，誰想找一個推理的必然性和準(zhǔn)確性的例子，一定會想到數(shù)學(xué)。”(M·克萊因著，李宏魁譯：《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1997年版，2頁)他還曾對數(shù)學(xué)做過這樣的描述：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，但數(shù)學(xué)卻能提供以上的一切，給人快樂。”
數(shù)學(xué)依靠的是兩樣?xùn)|西：邏輯與創(chuàng)造。而人們對數(shù)學(xué)的追求則有兩種目的：各種實用的目的以及數(shù)學(xué)的內(nèi)在趣味。對于一些人來說(不僅僅指職業(yè)數(shù)學(xué)家)，數(shù)學(xué)的精髓在于它的美妙和它對于智力的挑戰(zhàn)。“數(shù)學(xué)是最聰明人之間的較量，因此非常具有挑戰(zhàn)性，同時，數(shù)學(xué)的美麗使研究數(shù)學(xué)成為一種樂趣”。這就是菲爾茲獎得主、美國數(shù)學(xué)家符拉基米爾·福沃特斯對常人眼中枯燥的數(shù)學(xué)的認識。當(dāng)然，對于另一些人，包括許多科學(xué)家和工程師，數(shù)學(xué)的首要價值是它如何能夠被應(yīng)用于他們的工作之中。
數(shù)學(xué)語言是表達數(shù)學(xué)思想的慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計的專門語言，具有抽象性、準(zhǔn)確性、簡約性和形式化等特點。加強數(shù)學(xué)語言教學(xué)對提高數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)表達以及交流能力具有重要作用。數(shù)學(xué)語言分為符號語言、文字語言和圖表語言，三類語言之間的相互轉(zhuǎn)換在數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)中占有重要地位。
社會建構(gòu)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)將主觀知識和客觀知識看成是相互維護和相互依存的。關(guān)于數(shù)學(xué)知識的社會建構(gòu)性質(zhì)，歐內(nèi)斯特提出以下三點根據(jù)：(1)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)是語言知識、約定和規(guī)則，而語言知識是一種社會建構(gòu)；(2)個人的主觀數(shù)學(xué)知識經(jīng)發(fā)表后轉(zhuǎn)化為客觀數(shù)學(xué)知識，這需要社會性的交往與交流；(3)客觀性本身應(yīng)該理解為社會性的認同(Paul Ernest著，齊建華、張松枝譯：《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》，上海教育出版社，1998年版，51-52頁)。“整個數(shù)學(xué)知識是由證明予以保證的，其基礎(chǔ)和可靠性則依賴于語言知識和規(guī)則” (同上，66頁)。
數(shù)學(xué)是科學(xué)的主要術(shù)語。數(shù)學(xué)和科學(xué)具有許多共性，包括都具有對可以理解的規(guī)劃的信念；想象力和嚴(yán)格邏輯的相互影響；誠實與公開的思想；同行評論的極端重要性。17世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的發(fā)展清楚地表明，社會生產(chǎn)推動自然科學(xué)的發(fā)展，自然科學(xué)又推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，并為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)提供靈感。美國數(shù)學(xué)家克萊因的論述充分說明了這一點：“對自然的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉。”(M·克萊因著，李宏魁譯：《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1997年版，293頁)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的王后，同時也是它們的女傭”(同上，286頁)。
作為人類智慧的偉大結(jié)晶，數(shù)學(xué)受到了普遍的尊敬和推崇！镀胀ǜ咧袛(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》提到：“數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分，構(gòu)成了公民所必須具備的一種基本素質(zhì)。數(shù)學(xué)科學(xué)歷來是自然科學(xué)和社會科學(xué)的基礎(chǔ)……越來越廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用，正在不斷地滲入社會生活的方方面面。……高度發(fā)展的數(shù)學(xué)思維成為人類社會進步的重要標(biāo)志。”
數(shù)學(xué)有著極其重要的教育價值。數(shù)學(xué)是訓(xùn)練客觀且精確的判斷力的基本因素之一，數(shù)學(xué)尤其需要積極的思維活動及對結(jié)果的驗證，而這會對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)(在智力上和道德上)產(chǎn)生影響。數(shù)學(xué)的奧妙不在于發(fā)現(xiàn)它的完美和復(fù)雜，相反在于找到最經(jīng)濟和簡單的表述和論證。因為數(shù)學(xué)在現(xiàn)代文化中扮演著中心的角色，所以對數(shù)學(xué)性質(zhì)的基本了解成為科學(xué)素養(yǎng)的需要。要做到這一點，學(xué)生需要將數(shù)學(xué)視為科學(xué)活動的一部分，了解數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)，并熟悉重要的數(shù)學(xué)概念和技巧。
作為一門理論學(xué)科，數(shù)學(xué)探索抽象概念之間的關(guān)系，并不考慮這些抽象在現(xiàn)實世界是否存在對應(yīng)的本物。心理學(xué)研究表明，一切智力的核心在于思維。兒童數(shù)學(xué)能力的發(fā)展應(yīng)包括認知、計算、思維三方面，而不能簡單地將計算等同于數(shù)學(xué)。有學(xué)者富有見地地指出：珠算、心算對提高兒童的計算能力的確有很好的促進作用，但對兒童思維發(fā)展的貢獻卻十分有限。
數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就在于幫助學(xué)生形成行動上的邏輯程序(思考、分析、抽象、簡明、計劃、演繹、推理、普遍化、具體化、應(yīng)用、評判等)，形成合理的思想及其表達的質(zhì)量(秩序、精確、明了、簡潔等)，引起觀察，形成空間和數(shù)目的概念，培養(yǎng)抽象領(lǐng)域里的直覺和想象、注意和關(guān)注的能力、毅力和有規(guī)則的努力之習(xí)慣，最后形成科學(xué)素養(yǎng)(客觀、誠實、研究興趣等等)。這是作為一個現(xiàn)代人所受教育的一個基礎(chǔ)部分，哪怕他今后從事非科學(xué)或非技術(shù)性的工作。
如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，進行有效的教學(xué)?荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴塔爾認為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。
國際數(shù)學(xué)教育專家在一份數(shù)學(xué)教育指導(dǎo)性的文件中提出了如下意見：引導(dǎo)學(xué)生自己形成思想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的關(guān)系和性質(zhì)，而不是把成熟的思維強加給他們；更注意思維和推理而不是機械訓(xùn)練和死記硬背，限制死記一些固定的基本結(jié)論；強調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性；就數(shù)學(xué)思想和正在學(xué)習(xí)的理論的主要歷史發(fā)展階段作出說明；保持數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的科學(xué)之間的合作；貫徹數(shù)學(xué)思維的要求，增加語言的精確度、清晰度和簡明性。
我國正在進行的基礎(chǔ)教育課程改革對數(shù)學(xué)也提出了如下教學(xué)指導(dǎo)思想：(1)以學(xué)生發(fā)展為本，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自主探索，主動積極地獲取知識，使學(xué)生人人在原有基礎(chǔ)上有所收獲，有成功感，得到和諧的發(fā)展。(2)確立關(guān)于學(xué)生和教師的觀念：每一個學(xué)生都可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同水平的數(shù)學(xué)；允許學(xué)生以不同的速度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；學(xué)生可以用自己的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教師是課程實施過程中的決策者，是教學(xué)過程中的組織者、指導(dǎo)者和參與者。(3)教學(xué)中要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，要為學(xué)生提供豐富多彩的情景，要為學(xué)生留有探索與思考的余地，倡導(dǎo)合作交流的課堂氣氛。
數(shù)學(xué)知識源于生活，但并不等于生活本身的摹本。它是對生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的提煉。因此，它高于生活、概括生活，具有高度的抽象性。在教學(xué)中，聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗，接通生活的源頭活水，就會使原本枯燥單調(diào)的理論變得鮮活生動起來。比如初中數(shù)學(xué)中的“一次函數(shù)的表達式”為：y=kx+b，這些符號之間是怎樣的一種關(guān)系，這個表達式能夠描述和解釋怎樣的現(xiàn)象和事實呢?我們假定y這個因變量代表一個餐廳服務(wù)員一個月的薪水，x代表餐廳一個月的營業(yè)額 (或一個服務(wù)員通過其服務(wù)所帶來的營業(yè)額)， k代表從營業(yè)額中提成的比例，b是一個常量，代表基本工資，或稱之為底薪。也就是說，餐廳服務(wù)員一個月的收入等于底薪加營業(yè)額按一定比例的提成。
這就是一個比較合理的、雙贏的雇主和雇員之間的關(guān)系：作為餐廳的服務(wù)員，你如果能以自己優(yōu)質(zhì)的服務(wù)，贏得更多的回頭客，你的收入也會更多；即使由于其他原因，餐廳的營業(yè)額不佳，服務(wù)員至少還有基本工資。這樣學(xué)生不僅能夠很好地理解這個表達式的意思，也能真切地感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于生活的意義。如果我們這樣聯(lián)系生活，學(xué)生就能感受到數(shù)字的意義，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)盡管十分抽象，其實它源于生活，聯(lián)系生活，也能培養(yǎng)學(xué)生生活的智慧，當(dāng)他今后成為一個經(jīng)營者或者是就業(yè)者時，他知道怎樣去處理類似的問題。而當(dāng)學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的意義時，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會是快樂的，也是更有效的。在課堂中，與學(xué)生密切相連的生活事例，對學(xué)生而言，有一種特別的親和力，它能夠拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離。
數(shù)學(xué)解題過程是學(xué)生應(yīng)用知識、解決問題的過程，也是鞏固學(xué)習(xí)和知識遷移的過程。學(xué)會解題是學(xué)習(xí)成果的重要體現(xiàn)。著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中對數(shù)學(xué)解題劃分為四個階段：弄清問題：→擬定計劃→實現(xiàn)計劃→回顧。其中“回顧”就是解題后的反思，它是解題思維過程中的深化和提高，是解題學(xué)習(xí)的信息反饋調(diào)控階段。反思有利于學(xué)生深層次的建構(gòu)。