函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)概念之一，數(shù)學(xué)的很多分支，如極限理論、微積分、微分方程、泛函分析等，都以函數(shù)作為基本概念和研究對(duì)象。其他學(xué)科如物理學(xué)等學(xué)科也是以函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)作為研究問題和解決問題的工具。函數(shù)在數(shù)學(xué)乃至其他學(xué)科中具有極其重要的地位。
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的主干內(nèi)容之一，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)。函數(shù)的思想方法也廣泛地滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程。函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容都密切相關(guān)，如：數(shù)、式、方程、數(shù)列、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等。
一、函數(shù)內(nèi)容
（一）初中的函數(shù)內(nèi)容
1．常量。變量。函數(shù)及其表示法。用函數(shù)解決實(shí)際問題。
2．一次函數(shù)。一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。用一次函數(shù)解決實(shí)際問題。二元一次方程組的圖象解法。
3．反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題。
4．二次函數(shù)。二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。用二次函數(shù)解決實(shí)際問題。二元一次方程的圖象解法。
（二）高中的函數(shù)內(nèi)容
1．函數(shù)的概念
（1）函數(shù)的定義（用集合與對(duì)應(yīng)的語言）
（2）函數(shù)的表示法
2．函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、極值與最值）
3．幾類基本初等函數(shù)
（1）指數(shù)函數(shù)
（2）對(duì)數(shù)函數(shù)
（3）冪函數(shù)
（4）三角函數(shù)
4．函數(shù)的應(yīng)用
（1）內(nèi)部：方程、數(shù)列、不等式、解三角形等
（2）外部：利用函數(shù)的性質(zhì)、模型解決實(shí)際問題等
5．用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
二、函數(shù)內(nèi)容解析
（一）初中函數(shù)內(nèi)容解析
1．初中函數(shù)概念解析
（1）初中函數(shù)概念建立了數(shù)學(xué)與運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系
在現(xiàn)實(shí)世界中，運(yùn)動(dòng)與變化是絕對(duì)的，靜止與不變則是相對(duì)的。在這種運(yùn)動(dòng)和變化中就包含（兩個(gè)）相互依賴的量的變化。那么，從數(shù)學(xué)角度出發(fā)如何描述這兩個(gè)變化量的關(guān)系呢？人們對(duì)這種變化對(duì)應(yīng)的關(guān)系進(jìn)行了長期的研究，最后引入“函數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念來描述這個(gè)關(guān)系。函數(shù)概念有不同的定義，為了便于學(xué)生接受，初中函數(shù)概念一般采取如下定義：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。
在很多問題中，可以用式子表示函數(shù)。初中所學(xué)的一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)都有各自的解析表達(dá)式。在一些用圖或表格表達(dá)的問題中，也能看到兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系。初中函數(shù)概念的建立有助于學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化，聯(lián)系對(duì)應(yīng)的角度考慮問題。
（2）初中函數(shù)概念蘊(yùn)涵了數(shù)與形的聯(lián)系
從初中函數(shù)概念可以看到：自變量的一個(gè)值和與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值組成了一個(gè)有序數(shù)對(duì)，而一個(gè)有序數(shù)對(duì)可以用平面直角坐標(biāo)系的一個(gè)點(diǎn)表示。所有這些有序數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成一個(gè)圖形，也就是函數(shù)的圖象。函數(shù)的圖象是兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的直觀反映，建立了數(shù)與形的聯(lián)系。函數(shù)圖象特征與函數(shù)性質(zhì)之間存在必然的聯(lián)系。例如
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圖象特征
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函數(shù)變化規(guī)律
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從左到右圖象上升
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y隨x的增大而增大
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從左到右圖象下降
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y隨x的增大而減小
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圖象有最高點(diǎn)（a,b）
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x=a時(shí)，y有最大值b
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圖象有最低點(diǎn)（a,b）
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x=a時(shí)，有最小值b
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可以利用函數(shù)圖象的直觀研究函數(shù)的性質(zhì)。在初中，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)都可以借助各自的圖象加以研究。比如，從圖象理解一次函數(shù)，反比例函數(shù)的單調(diào)性，認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的最大值或最小值。
（3）初中函數(shù)概念包含了與數(shù)，式，方程等內(nèi)容的聯(lián)系
從函數(shù)概念可以看到它與已學(xué)內(nèi)容的一些聯(lián)系：由自變量的值求函數(shù)的值涉及數(shù)及其運(yùn)算；用含自變量的式子表示另一個(gè)變量涉及列代數(shù)式；由函數(shù)的值求自變量的值，實(shí)際上是解方程；自變量的取值范圍的討論，要用到不等式等等。
函數(shù)概念可以加深對(duì)方程（組）與不等式等數(shù)學(xué)對(duì)象的理解，而且可以加大對(duì)已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)內(nèi)容之間的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)間橫縱向的融會(huì)貫通，提高靈活地分析解決問題的能力。2一次函數(shù)有關(guān)內(nèi)容解析
（1）一次函數(shù)是實(shí)際問題中常見的函數(shù)類型
形如y = kx＋b （k, b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y = kx＋b即y = kx，叫做正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù). 現(xiàn)實(shí)中存在大量問題涉及具有簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的變量，其中許多問題中的數(shù)量關(guān)系是一次（也稱線性）的，這為學(xué)習(xí)一次函數(shù)內(nèi)容提供了大量的現(xiàn)實(shí)素材.可以通過一系列具體例子解釋變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系等，從而借助直觀的、具體的事物理解抽象的內(nèi)容。
（2）一次函數(shù)的內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的研究方法