教學(xué)設(shè)計
數(shù)學(xué)抽象概括能力是數(shù)學(xué)思維能力之一，也是數(shù)學(xué)能力的核心。它具體表現(xiàn)為對事物概括的獨特能力，發(fā)現(xiàn)在普遍現(xiàn)象中存在著差異的能力，在各類現(xiàn)象間建立聯(lián)系的能力，分離出問題的核心和實質(zhì)的能力，由特殊到一般的能力，從非本質(zhì)的細(xì)節(jié)中使自己擺脫出來的能力，把本質(zhì)的與非本質(zhì)的東西區(qū)分開來的能力，善于把具體問題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力等方面。
在數(shù)學(xué)抽象概括能力方面，不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生有不同的差異。具有數(shù)學(xué)能力的學(xué)生在收集數(shù)學(xué)材料所提供的信息時，明顯表現(xiàn)出使數(shù)學(xué)材料形式化，能迅速地完成抽象概括的任務(wù)，同時具有概括的欲望，樂意地、積極主動地進行概括工作。所以，對于身心日趨成熟的高中學(xué)生來說，教師要有意識地在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。
本課時就是安排在高一學(xué)生在進行一個月的函數(shù)學(xué)習(xí)和思維訓(xùn)練以后，作為一個函數(shù)復(fù)習(xí)內(nèi)容出現(xiàn)。同樣一個內(nèi)容，在高三講解時，教師側(cè)重于該類型問題的解答方法等。但是作為高一學(xué)生，我覺得著眼點應(yīng)該在于學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的操作運用，也就是說，這節(jié)課應(yīng)該以讓學(xué)生進一步復(fù)習(xí)掌握函數(shù)的性質(zhì)作為主要目的，其次才是試圖通過這節(jié)課讓學(xué)生開始對數(shù)學(xué)的抽象思維略作嘗試。
而對于這堂課的思考是基于學(xué)生對于函數(shù)理解的思維習(xí)慣引入的，因為高一學(xué)生的對函數(shù)的理解是這樣的：
高一新生原有的儲備知識：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)；進入高一后進一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)、 型函數(shù)；在了解了這些具體函數(shù)以后，開始研究函數(shù)的性質(zhì)；而函數(shù)性質(zhì)的總結(jié)就是為今后學(xué)習(xí)更多的具體函數(shù)：冪、指、對函數(shù)和三角函數(shù)等。新教材在這個方面的層次相當(dāng)明確，其實一種“具體數(shù)量關(guān)系——抽象模式——具體數(shù)量關(guān)系”的過程，它即符合學(xué)生的思維習(xí)慣，又能引領(lǐng)學(xué)生踏上“實踐——探索——再實踐”的思維征程。所以，在高一第三章函數(shù)結(jié)束、第四章冪、指、對函數(shù)開始之前是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的大好時機。
在本課設(shè)計中，我把本課時分成兩條線索進行操作：
在第一條線索中，每一個部分擔(dān)當(dāng)不同的角色：
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定義域
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作為學(xué)生已經(jīng)熟知的內(nèi)容課題引入，引入抽象函數(shù)的大致形式。
已知：f(x)的定義域為[1，2]，那么f(2x)的定義域呢？
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求函數(shù)值
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讓學(xué)生懂得“賦值法”，讓學(xué)生開始了解“任意”這個詞在解決問題中的含義。
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奇偶性
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進一步運用剛學(xué)過的賦值法，同時讓學(xué)生憑自己的“感覺”選取特殊值，完成自己的“猜想。”
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單調(diào)性
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本節(jié)課的難點，也是教師在設(shè)計中切入點，為了讓學(xué)生能夠想到湊“x1-x2+x2”、
，我設(shè)計了大段開放式的問題，收到了一定的效果。
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在例1中我把所有上述元素融入其中，在第一問題中就使學(xué)生想到很多有價值的結(jié)論，為后來幾個問題解決作了鋪墊。而例2作為一個練習(xí)把例1中學(xué)到的內(nèi)容作為一個復(fù)習(xí)和總結(jié)，因為我認(rèn)為，一個發(fā)散性問題是需要做一定總結(jié)和歸納。在備課時，對例1、例2的先后問題，我也作了一定的考慮，本節(jié)課的編排應(yīng)該是違背了“先易后難”、“循序漸進”的教學(xué)基本原則。
可是出于兩方面的考慮：其一、因為第一個抽象函數(shù)原形是學(xué)生尚未學(xué)習(xí)的對數(shù)函數(shù)、而第二個是學(xué)生已經(jīng)熟悉的正比例函數(shù)。如果剛上來就用一個學(xué)生熟悉的函數(shù)，那學(xué)生在思維中會有一定的思維定勢，阻礙了其抽象性思維的發(fā)揮。其二、為了順理成章地引入這部分內(nèi)容后緊接著的對照表。因此，經(jīng)過反復(fù)的思考，還是采取了這樣一種順序和層次。
作為第一部分的總結(jié)：讓學(xué)生體會到“具體數(shù)量關(guān)系——抽象模式——具體數(shù)量關(guān)系”，我設(shè)計了一個抽象函數(shù)性質(zhì)與具體函數(shù)模型的對照表，當(dāng)然因為學(xué)生還未學(xué)習(xí) “冪、指、對函數(shù)”和“三角函數(shù)”，可能這張表格的意義還不大，但是作為教師，只需讓學(xué)生達到“實踐——探索——再實踐”的目的即可。
在第二條線索中，通過學(xué)生對圖象的理解來解決問題。目的也有幾點：
（一） 跳出所謂“抽象函數(shù)”就是例1、例2的固定模式，問題可以以各種形式出現(xiàn)，而最終目的就是讓學(xué)生學(xué)會在已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識上構(gòu)建新的元素，解決問題。
（二） 復(fù)習(xí)性質(zhì)與圖象的相互運用，并注意作圖的規(guī)范和細(xì)節(jié)。
（三） 在圖象中解決不等式問題，進一步深化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)然這個內(nèi)容不是本節(jié)課的重點，但是我還是有意識地在每節(jié)課中滲透有關(guān)數(shù)學(xué)思想。這一點符合高中二期課改中知識與技能目標(biāo)中的“對數(shù)學(xué)思想方法在進行數(shù)學(xué)思考和解決問題中的作用有積極的體會”[1]這一要求。
教案實錄
教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能目標(biāo)：
通過本節(jié)課對函數(shù)一個章節(jié)中定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)圖象的復(fù)習(xí)，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力、類比發(fā)現(xiàn)能力和數(shù)形結(jié)合能力。
過程與方法：
運用數(shù)學(xué)抽象、探索和應(yīng)用的基本方法：掌握觀察、操作、比較、分析、類比、歸納等數(shù)學(xué)實驗研究的方法和利用圖表整理數(shù)據(jù)、獲取信息的方法。具有抓住現(xiàn)實事物的本質(zhì)、進行數(shù)學(xué)的抽象與概括的經(jīng)歷和經(jīng)驗，形成一定的能力。掌握“從特殊到一般”、“從一般到特殊”以及“轉(zhuǎn)化”等思維策略。
情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：
通過積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決的活動，逐步增強主體意識、批判意識和合作意識，形成數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和綜合意識，養(yǎng)成批判性思維的習(xí)慣、一絲不茍的作風(fēng)和鍥而不舍的精神。
教學(xué)重點：
（1） 抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的證明。
（2） 根據(jù)條件設(shè)想具體函數(shù)，具體圖象。
教學(xué)難點：
（1） 賦值法和一些證明方法的運用。
（2） 根據(jù)已知條件探求未知結(jié)論。
教學(xué)流程：
教具：多媒體設(shè)備
教學(xué)過程：
一、分析抽象函數(shù)性質(zhì)的常用方法：
例1：函數(shù)f(x)對于任何a,b為正實數(shù),恒有f(ab)=f(a)+f(b).你能想到什么結(jié)論嗎?
（1）若f(8)=6,可以求出哪些函數(shù)值,或聯(lián)想到哪些結(jié)論?
（2）若f(x)的定義域改成:x∈（-∞，0）∪（0，+ ∞）,恒有f(ab)=f(a)+f(b),你能想到什么結(jié)論?
（3）若x>1時，f(x)<0,你又能發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)的什么性質(zhì)?
例2：已知不恒為零的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）.
（1） 試確定這個函數(shù)的奇偶性.(奇函數(shù))
（2） 當(dāng)x＞0時，f（x）＞0,試確定該函數(shù)的單調(diào)性.（單調(diào)增）
（3） f（－1）＝－2，求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最值.（-4和2）
（4） 你能找到這個具體函數(shù)模型嗎?
二、設(shè)想具體函數(shù)或具體圖象解決問題：
例3：若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，且f(-3)=0，解不等式xf(x)<0。
（答案：（-3，0）∪（0，3））
例4:設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)
課后反思
本節(jié)課的亮點：
1．由教師引導(dǎo)，學(xué)生探索解決問題的方法和途徑。由于抽象函數(shù)在解決奇偶性判斷、和單調(diào)性判斷方面分別用到了學(xué)生不太熟悉的“賦值法”和“添加項”等方法，所以在傳授時會遇到很大的困難。為了讓學(xué)生能自己發(fā)現(xiàn)、自己探索。我設(shè)計了具有開放性質(zhì)的例1，由此不僅能自然引出后面兩種方法，同時促進學(xué)生觀察、操作、比較、分析、類比、歸納等數(shù)學(xué)實驗研究的方法的掌握。
2．探索本課題內(nèi)容在高一階段的實施情況。抽象函數(shù)這個內(nèi)容在高一階段可作為一個拓展內(nèi)容開展，它的目的是為了讓學(xué)生在初步學(xué)習(xí)完函數(shù)知識后，進一步加深對函數(shù)符號“f( )”的理解。因為，很多老師都有相同的體會，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的三要素時，定義域、值域這兩個內(nèi)容學(xué)生很好理解，但是對于對應(yīng)法則，就是指這個“f”很難解釋，所以為讓學(xué)生大致理解，只能解釋為一種關(guān)系，甚至是一個具體的解析式，大不了在后面拖一句：“當(dāng)然很多函數(shù)關(guān)系也沒有具體的解析式”等等的話。所以，為了讓學(xué)生更好的掌握“f( )”這個抽象符號，我們可以利用本章內(nèi)容讓學(xué)生加深對該符號的理解和運用。所以，可能很多老師或?qū)W生覺得本章內(nèi)容對高一學(xué)生偏難，但是作為教師可以以“復(fù)習(xí)函數(shù)性質(zhì)為主要目標(biāo)”完成這節(jié)課的教學(xué)。
本節(jié)課的遺憾：
本節(jié)課盡管教師設(shè)計了一些適合學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的問題，而且學(xué)生之間在教師的引導(dǎo)下也能相互啟發(fā)。但是學(xué)生自主活動在這節(jié)課中體現(xiàn)不夠，所以在今后上此類課時，還是值得多加思考的。
數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力呢？我們認(rèn)為從以下幾方面入手：
1.教學(xué)中將數(shù)學(xué)材料中反映的數(shù)與形的關(guān)系從具體的材料中抽象出來，概括為特定的一般關(guān)系和結(jié)構(gòu)，做好抽象概括的示范工作，要特別注意重視"分析"和"綜合"的教學(xué)。
2.在解題教學(xué)中要注意去發(fā)掘隱藏在各種特殊細(xì)節(jié)后面的普遍性，找出其內(nèi)在本質(zhì)，善于抓住主要的、基本的和一般的東西，即教會學(xué)生善于運用直覺抽象和上升型概括的方法。
3.培養(yǎng)學(xué)生概括的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生概括的欲望，形成遇到一類新的題時，經(jīng)常把這種類型的問題一般化，找出其本質(zhì)，善于總結(jié)。
4.培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力是長期艱苦的工作，在教學(xué)中要隨時注意培養(yǎng)，有意識地根據(jù)不同情況嚴(yán)格訓(xùn)練和要求，逐步深入，提高要求。
參考文獻：
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馬小伯、周英雋、李瑾:《都是f()惹的禍》，上海交通大學(xué)出版社，2004.1
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