題1.已知△ABC中,,,且,則的取值范圍是 ▲ .[-2,].
題2.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為,其左、右焦點分別為F1,F2,一個頂點B和兩個焦點F1,F2構成的三角形的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若M為橢圓C上任一點,試問:是否存在一個定圓N,與以M為圓心,以MF2為半徑的圓相內切?若存在,求出這個定圓的方程;若不存在,說明理由.
(3)設斜率為的直線l與曲線C交于兩個不同點,若直線不過點,設直線的斜率分別為,求證:為定值.
解:(1)設橢圓的方程為,由題意知
解得,所以橢圓C的方程為
(2)答:一定存在滿足題意的定圓.
理由:∵動圓M與定圓N相內切,
∴兩圓的圓心之間距離MN與其中一個圓的半徑之和或差必為定值.
又(1,0)是曲線橢圓C的右焦點,且M是曲線C上的動點,
記曲線C的左焦點為F(-1,0),聯(lián)想橢圓軌跡定義,有MF+M=4,
∴若定圓的圓心N與點F重合,定圓的半徑為4時,則定圓N滿足題意.
∴定圓N的方程為:(x+1)2+y2=16.