一、基礎(chǔ)知識
1.復(fù)數(shù)的定義:設(shè)i為方程x2=-1的根,i稱為虛數(shù)單位,由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi(a,b∈R)的數(shù),稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。
2.復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數(shù)形式,它由實部、虛部兩部分構(gòu)成;若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標,那么z與坐標平面唯一一個點相對應(yīng),從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點來表示,表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面,x軸稱為實軸,y軸去掉原點稱為虛軸,點稱為復(fù)數(shù)的幾何形式;如果將(a,b)作為向量的坐標,復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式,稱為向量形式;另外設(shè)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z,見圖15-1,連接OZ,設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r,則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ),這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ),則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π,則θ稱為z的輻角主值,記作θ=Arg(z). r稱為z的模,也記作|z|,由勾股定理知|z|= .如果用eiθ表示cosθ+isinθ,則z=reiθ,稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。