一、基礎知識
不等式的基本性質:
(1)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c;
(3)a>b a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ac>bc;
(5)a>b, c<0 ac(6)a>b>0, c>d>0 ac>bd;
(7)a>b>0, n∈N+ an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ ;
(10)a, b∈R,則|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;
(11)a, b∈R,則(a-b)2≥0 a2+b2≥2ab;
(12)x, y, z∈R+,則x+y≥2 , x+y+z
前五條是顯然的,以下從第六條開始給出證明。
(6)因為a>b>0, c>d>0,所以ac>bc, bc>bd,所以ac>bd;重復利用性質(6),可得性質(7);再證性質(8),用反證法,若,由性質(7)得,即a≤b,與a>b矛盾,所以假設不成立,所以;由絕對值的意義知(9)成立;-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再證(10)的左邊,因為|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;(11)顯然成立;下證(12),因為x+y-2 ≥0,所以x+y≥,當且僅當x=y時,等號成立,再證另一不等式,令,因為x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以a3+b3+c3≥3abc,即x+y+z≥,等號當