知識點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
1.奇、偶函數(shù)代數(shù)特征的靈活變通
由f(-x)=-f(x),可得f(-x)+f(x)=_0_或__-1_(f(x)≠0);由f(-x)=f(x),可得f(-x)-f(x)=__0__或__1__(f(x)≠0).在判定函數(shù)的奇偶性方面,有時(shí)利用變通后的等式更為方便.
2.函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論
(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義,即f(0)有意義,那么一定有_________,有時(shí)可以用這個(gè)結(jié)論來否定一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù).
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么_____.
思考1:什么函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)?
提示:設(shè)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),故-f(x)=f(x),所以f(x)=0,但定義域需關(guān)于原點(diǎn)對稱.故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)多個(gè),它們?yōu)?i>f(x)=0且其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集.
思考2:利用奇、偶函數(shù)的圖象特征,直接觀察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、最值之間有怎樣的關(guān)系?
提示:(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).
知識點(diǎn)二函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的聯(lián)系
由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,因此奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性___相同____,而偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,因此偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性_____相反____,求解函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合問題,要注意應(yīng)用
思考3:設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-2),f(-π),f(3)的大小順序是__________.
解析:∵f(x)是R上的偶函數(shù),
∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),
又f(x)在[0,+∞)上遞增,而2<3<π,
∴f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).