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奇偶性
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定 義
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圖象特點(diǎn)
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偶函數(shù)
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如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
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關(guān)于y軸對(duì)稱
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奇函數(shù)
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如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
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關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
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易誤提醒
1.判斷函數(shù)的奇偶性,易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.
2.判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí),必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,均有f(-x)=-f(x),而不能說(shuō)存在x0使f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0).
3.分段函數(shù)奇偶性判定時(shí),利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性是錯(cuò)誤的.
必記結(jié)論
1.函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論:
(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).
(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.
(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
2.有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論:
(1)若函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.
若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.
(2)若f(x)=f(2a-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.
若f(x)+f(2a-x)=2b,則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.