求以(1,1)為中點(diǎn)的拋物線y2=8x的弦所在直線的方程.
[思維架橋] 由得(y2+y1)(y2-y1)=8(x2-x1),將中點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入,求得弦所在直線的斜率,可得方程.
解:設(shè)所求直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),
則有y=8x1,①
y=8x2.②
由②-①,得(y2+y1)(y2-y1)=8(x2-x1),
即·=4.③
因?yàn)棰凼街?/span>是AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo),
所以=1,
而是直線AB的斜率,于是得到kAB=4.
又該直線過(guò)點(diǎn)(1,1),所以所求直線方程為y=4x-3.
已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.
[思維架橋] 聯(lián)立直線與圓的方程,得到y1+y2=4,y1y2=,即可得x1x2.由條件OP⊥OQ可得x1x2+y1y2=0,代入可求m的值.
解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立
消去x得5y2-20y+12+m=0,
所以y1+y2=4,y1y2=.
因?yàn)?i>OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,
而x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1y2,所以9-6(y1+y2)+5y1y2=0,解得m=3,此時(shí)Δ>0.圓的方程為x2+y2+x-6y+3=0,所以圓心坐標(biāo)為C,半徑為.