考試要求:1.理解等比數(shù)列的概念及通項公式的意義.
2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式,理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系.
3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)等比關系,并解決相應的問題.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.
一、教材概念·結論·性質重現(xiàn)
1.等比數(shù)列的有關概念
(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列{an}從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(顯然q≠0).定義的遞推公式為=q(常數(shù)).
(2)等比中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.此時,G2=ab.
(1)注意:①等比數(shù)列的每一項都不可能為0.
②公比是每一項與其前一項的比,前后次序不能顛倒,且公比是一個與n無關的常數(shù).
(2)“G2=ab”是“a,G,b成等比數(shù)列”的必要不充分條件.
2.等比數(shù)列的有關公式
(1)通項公式:an=a1qn-1.
(2)前n項和公式:
(1)等比數(shù)列通項公式與指數(shù)函數(shù)的關系
等比數(shù)列{an}的圖象是指數(shù)型函數(shù)y=·qx的圖象上一些孤立的點.
(2)求等比數(shù)列前n項和時要對公比q是否等于1進行分類討論.
3.等比數(shù)列的性質
(1)通項公式的推廣:an=am·qn-m(m,n∈N*).
(2)對任意的正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則am·an=ap·aq.
特別地,若m+n=2p,則am·an=a.
(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比數(shù)列,即(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)(m∈N*,公比q≠-1或q=-1,m為奇數(shù)).