球與其他幾何體的切、接問題,是近幾年高考的熱點(diǎn),這種題目幾乎在各省高考試題中都有涉及,主要考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).
解決與球有關(guān)的切、接問題,其通法是作截面,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,其解題的思維流程是:
類型一 球與多面體的切、接問題
考向1 球與多面體的內(nèi)切問題
已知正三棱錐的高為1,底面邊長為2,內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切,則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________.
[思維架橋] 如圖,過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D,連接AD并延長交BC于點(diǎn)E,連接PE,過點(diǎn)O作OF⊥PE于點(diǎn)F.
由條件可求DE=1,PE=.
易知EF=DE=1,設(shè)OD=OF=r.
由OP2=OF2+PF2,
求r=-1.
所以棱錐的內(nèi)切球的半徑為-1.
解:如圖,過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D,連接AD并延長交BC于點(diǎn)E,連接PE,過點(diǎn)O作OF⊥PE于點(diǎn)F.
由條件可求DE=1,PE=.
易知EF=DE=1,設(shè)OD=OF=r.
由OP2=OF2+PF2,
求r=-1.