立體幾何中的動態(tài)問題,主要包括:空間動點軌跡的判斷,求軌跡的長度及動角的范圍等.
類型一 求動點的軌跡(長度)
已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E為棱CC1的中點,點M在正方形BCC1B1內(nèi)運動,且直線AM∥平面A1DE,則動點M的軌跡長度為( )
A. B.
C.2 D.π
[思維架橋] 建立空間直角坐標系,設點M(x,2,z),求出平面A1DE的法向量n.由·n=0可得x-z=1,故點M的軌跡是以BC,BB1的中點為端點的線段,易求這條線段的長度.
B 解析:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則=(2,0,2),=(0,2,1),則平面A1DE的一個法向量為n=(2,1,-2).設M(x,2,z),則=(x-2,2,z).由·n=0,得2(x-2)+2-2z=0,所以x-z=1,故點M的軌跡為以BC,BB1的中點為端點的線段,長為.故選B.
[應用體驗]
如圖,在四棱錐PABCD中,側面PAD為正三角形,底面ABCD為正方形,側面PAD⊥底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個動點,且滿足MP=MC,則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡是( )
A B C D
A 解析:根據(jù)題意可知PD=DC,則點D符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個動點,且滿足MP=MC”,設AB的中點為N,根據(jù)題目條件可知△PAN≌△CBN,所以PN=CN,點N也符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個動點,且滿足MP=MC”,故動點M的軌跡肯定過點D和點N,可排除選項B,C.而到點P與到點C的距離相等的點的軌跡是線段PC的垂直平分面,線段PC的垂直平分面與平面AC的交線是一直線.故選A.