類(lèi)型一 構(gòu)造F(x)=f(x)-g(x)型可導(dǎo)函數(shù)
已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)=20,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿(mǎn)足f′(x)>6x2+2,則不等式f(x)>2x3+2x的解集為( )
A.{x|x>-2} B.{x|x>2}
C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}
[思維架橋] 構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-2x3-2x,求導(dǎo)得F′(x)=f′(x)-6x2-2>0,可知函數(shù)F(x)單調(diào)遞增.再結(jié)合已知條件得到F(x)>F(2),即得不等式的解集.
B 解析:令函數(shù)F(x)=f(x)-2x3-2x,則F′(x)=f′(x)-6x2-2>0, 所以F(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?i>F(2)=f(2)-2×23-2×2=0,故原不等式等價(jià)于F(x)>F(2),所以所求不等式的解集為{x|x>2}.
若已知f′(x)>G(x),解不等式f(x)>g(x),其中g(x),G(x)都是具體函數(shù),且g′(x)=G(x),可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).
[應(yīng)用體驗(yàn)]
設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f′(x)-cos x<0,則不等式f(x)x的解集為_(kāi)_______.
(0,+∞) 解析:令F(x)=f(x)-sin x,則當(dāng)x≥0時(shí),F′(x)=f′(x)-cos x<0,所以F(x)在[0,+∞)上是減函數(shù).又f(x)是R上的奇函數(shù),所以F(x)=f(x)-sin x也是R上的奇函數(shù),故F(x)是減函數(shù)且F(0)=0.原不等式等價(jià)于f(x)-sin x<0,即F(x)<0=F(0),所以x>0.