(2021·全國乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點.
(1)求a;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=,證明:g(x)<1.
[規(guī)范解答]
(1)由f(x)=ln(a-x)⇒f′(x)=,x∈(-∞,a), 1分
y=xf(x)⇒y′=ln(a-x)+. 2分
又x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點,所以y′(0)=ln a=0,解得a=1. 3分
(2)由(1)得f(x)=ln(1-x),g(x)==,x<1且x≠0. 4分
當(dāng)x∈(0,1)時,因為x>0,ln(1-x)<0, 所以xln(1-x)<0,所以要證g(x)=<1,
即證x+ln(1-x)>xln(1-x),化簡得x+(1-x)ln(1-x)>0; 5分
同理,當(dāng)x∈(-∞,0)時,因為x<0,ln(1-x)>0,所以xln(1-x)<0,所以要證g(x)=<1, 6分
即證x+ln(1-x)>xln(1-x),化簡得x+(1-x)ln(1-x)>0. 7分