考點(diǎn)1 討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)——綜合性
(2021·?谀M)已知函數(shù)f(x)=.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并比較2 0202 021與2 0212 020的大;
(2)若函數(shù)g(x)=(x-2)2+x(2f(x)-1),其中≤a≤,判斷g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由.參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.693.
解:(1)函數(shù)f(x)=,定義域是(0,+∞),
故f′(x)=.
令f′(x)>0,解得0<x<e;令f′(x)<0,解得x>e,
故f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,
則f(2 020)>f(2 021),即>,
故2 021ln 2 020>2 020ln 2 021,
故ln 2 0202 021>ln 2 0212 020,故2 0202 021>2 0212 020.
(2)因?yàn)?i>g(x)=(x2-4x+4)+2ln x-x,
所以g′(x)=ax+-2a-1=.