訓練1 已知函數f(x)=.
(1)若函數f(x)在區(qū)間上存在極值,求正實數a的取值范圍;
(2)如果當x≥1時,不等式f(x)-≥0恒成立,求實數k的取值范圍.
解 (1)函數的定義域為(0,+∞),
f′(x)==-,
令f′(x)=0,得x=1.
當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.
所以x=1為函數f(x)的極大值點,且是唯一極值點,
所以0<a<1<a+,
故<a<1,即實數a的取值范圍為.
(2)原不等式可化為當x≥1時,k≤恒成立,
令g(x)=(x≥1),
則g′(x)=
=.
再令h(x)=x-ln x(x≥1),
則h′(x)=1-≥0,
所以h(x)≥h(1)=1,所以g′(x)>0,
所以g(x)為增函數,
所以g(x)≥g(1)=2,
故k≤2,即實數k的取值范圍是(-∞,2].