例1 已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+1,其中a為實(shí)常數(shù).對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),直線AB的斜率為k,若x1+x2+k>0恒成立,求a的取值范圍.
解 由題意,k=,則原不等式化為x1+x2+>0,不妨設(shè)x1>x2>0,則(x1+x2)(x1-x2)+f(x1)-f(x2)>0,即x-x+f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)+x>f(x2)+x.
設(shè)g(x)=f(x)+x2=ln x+x2-ax+1,
則g′(x)=+2x-a=,
由已知,當(dāng)x1>x2>0時(shí),不等式g(x1)>g(x2)恒成立,則g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
所以當(dāng)x>0時(shí),g′(x)≥0,即2x2-ax+1≥0,
即a≤=2x+恒成立,
因?yàn)?x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=,
即x=時(shí)取等號,
所以=2.