例1 已知函數(shù)f(x)=ex-3x+3a(e為自然對數(shù)的底數(shù),a∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求證:當(dāng)a>ln ,且x>0時(shí),>x+-3a.
(1)解 由f(x)=ex-3x+3a,x∈R,
知f′(x)=ex-3,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln 3,
于是當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
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x
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(-∞,ln 3)
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ln 3
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(ln 3,+∞)
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f′(x)
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-
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0
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+
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f(x)
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極小值
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故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln 3),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 3,+∞),
f(x)在x=ln 3處取得極小值,極小值為f(ln 3)=eln 3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a),無極大值.
(2)證明 待證不等式等價(jià)于ex>x2-3ax+1,
設(shè)g(x)=ex-x2+3ax-1,x>0,
于是g′(x)=ex-3x+3a,x>0.
由(1)及a>ln =ln 3-1知
g′(x)的最小值為g′(ln 3)=3(1-ln 3+a)>0.
于是對任意x>0,都有g′(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.