例1 (2020·全國(guó)Ⅰ卷)已知A,B分別為橢圓E:+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),·=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.
(1)求E的方程;
(2)證明:直線CD過定點(diǎn).
(1)解 由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).
則=(a,1),=(a,-1).
由·=8,得a2-1=8,
解得a=3或a=-3(舍去).
所以橢圓E的方程為+y2=1.
(2)證明 設(shè)P(6,y0),
則直線AP的方程為y=(x+3),
即y=(x+3),
聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得