例1 已知直線l:y=2x+m,橢圓C:+=1.試問當(dāng)m取何值時,直線l與橢圓C:
(1)有兩個不重合的公共點(diǎn);
(2)有且只有一個公共點(diǎn);
(3)沒有公共點(diǎn).
解 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,
得方程組
將①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③根的判別式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)當(dāng)Δ>0,即-3<m<3時,方程③有兩個不同的實(shí)數(shù)根,可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點(diǎn).
(2)當(dāng)Δ=0,即m=±3時,方程③有兩個相同的實(shí)數(shù)根,可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點(diǎn),即直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn).
(3)當(dāng)Δ<0,即m<-3或m>3時,方程③沒有實(shí)數(shù)根,可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解.這時直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn).
感悟提升 1.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)=0.消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
(1)當(dāng)a≠0時,則Δ>0時,直線l與曲線C相交;Δ=0時,直線l與曲線C相切;Δ<0時,直線l與曲線C相離.