知識點一 空間中向量的坐標及運算
1.空間中向量的坐標
(1)單位正交基底:如果空間向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是單位向量,且這三個向量兩兩垂直;
(2)單位正交分解:在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解;
(3)向量p的坐標:在單位正交基底下向量p=xe1+ye2+ze3,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)為向量p的坐標,記作p=(x,y,z).其中x,y,z都成為p的坐標分量.
2.空間向量的運算與坐標的關(guān)系
設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);
(2)μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2);
(3)a·b=x1x2+y1y2+z1z2;
(4)|a|==\s\up1(21;
(5)cos 〈a,b〉==x eq \o\al(\s\up1(21 .
3.空間向量的坐標與空間向量的平行、垂直
設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
(1)a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R);
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.