某電視臺(tái)正在策劃的“快樂(lè)向前沖”節(jié)目的場(chǎng)地設(shè)施如圖所示,AB為水平直軌道,上面安裝有電動(dòng)懸掛器,可以載人運(yùn)動(dòng),下方水面上漂浮著一個(gè)半徑為R鋪有海綿墊的轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤軸心離平臺(tái)的水平距離為L,平臺(tái)邊緣與轉(zhuǎn)盤平面的高度差為H,A點(diǎn)位于平臺(tái)邊緣的正上方,水平直軌道與平臺(tái)間的高度差可忽略不計(jì)。選手抓住懸掛器后,按動(dòng)開關(guān),在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下從A點(diǎn)沿軌道做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng),起動(dòng)后2 s懸掛器脫落。設(shè)人的質(zhì)量為m(人可看成質(zhì)點(diǎn)),人與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為μmg,重力加速度為g。
(1)假設(shè)選手落到轉(zhuǎn)盤上瞬間相對(duì)轉(zhuǎn)盤速度立即變?yōu)榱悖瑸楸WC他落在任何位置都不會(huì)被甩下轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)限制在什么范圍?
(2)若H=3.2 m,R=0.9 m,g取10 m/s2,當(dāng)a=2 m/s2 時(shí)選手恰好落到轉(zhuǎn)盤的圓心上,求L。
(3)若H=2.45 m,R=0.8 m,L=6 m,g取10 m/s2,選手要想成功落在轉(zhuǎn)盤上,求加速度a的范圍。
[解析] (1)設(shè)人落在轉(zhuǎn)盤邊緣處恰好不被甩下,此時(shí)最大靜摩擦力提供向心力,則有:μmg=mω2R
解得ω=
故轉(zhuǎn)盤的角速度ω≤ 。
(2)人處于勻加速過(guò)程:
x1=at2=×2×22 m=4 m
vC=at=4 m/s
人處于平拋過(guò)程:H=gt,得t2=0.8 s
x2=vCt2=4×0.8 m=3.2 m
故L=x1+x2=7.2 m。
(3)分析知a最小時(shí)人落在轉(zhuǎn)盤左端,a最大時(shí)人落在轉(zhuǎn)盤右端,由H=gt得t3=0.7 s,人落在轉(zhuǎn)盤左端時(shí)L-R=a1t2+a1tt3
解得a1= m/s2≈1.53 m/s2
人落在轉(zhuǎn)盤右端時(shí)L+R=a2t2+a2tt3
解得a2=2 m/s2
故加速度a的范圍是1.53 m/s2≤a≤2 m/s2。
[答案] (1)ω≤ (2)7.2 m (3)1.53 m/s2≤a≤2 m/s2