考點(diǎn)一 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性
函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題解題思路
(1)解決比較大小、最值問(wèn)題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
(2)解決不等式問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知的條件,把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,列出不等式(組),要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響.
[典例1] (1)(2019·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)f(x)是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則( )
(2)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(1)C (2)D [(1)∵f(x)是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x).
∴f=f(-log34)=f(log34).
又∵log34>log33=1,且1>2>2>0,
∴log34>2>2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(2)>f(2)>f(log34)=f.故選C.
(2)∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).
∵f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1.
故由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故選D.]
點(diǎn)評(píng):解答此類(lèi)題目時(shí),奇偶性的作用是把不在同一單調(diào)區(qū)間的自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上.