1.函數(shù)的奇偶性
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偶函數(shù)
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奇函數(shù)
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定義
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如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x
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都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
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都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
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圖象特征
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關(guān)于y軸對稱
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關(guān)于原點對稱
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提醒:(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.
(2)若f(x)≠0,則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下:
①f(x)為奇函數(shù)⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1.
②f(x)為偶函數(shù)⇔f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1.
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)
對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
提醒:若T是函數(shù)f(x)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.
1.函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論
(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
(4)若y=f(x+a)是奇函數(shù),則f(-x+a)=-f(x+a);若y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(-x+a)=f(x+a).