1.函數與映射的概念
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函數
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映射
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兩集合
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設A,B是非空的數集
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設A,B是非空的集合
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A,B對應關系f:A→B
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如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應
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如果按某一個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應
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定義
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稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數
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稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射
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記法
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y=f(x),x∈A
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映射f:A→B
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提醒:映射實質是一對一或多對一,函數是特殊的映射.
2.函數的有關概念
(1)函數的定義域、值域:
在函數y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.顯然,值域是集合B的子集.
(2)函數的三要素:定義域、值域和對應關系.
(3)相等函數:如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致,則這兩個函數相等,這是判斷兩函數相等的依據.
(4)函數的表示法
表示函數的常用方法有:解析法、圖象法、列表法.
提醒:兩個函數的值域和對應關系相同,但兩個函數不一定相同,例如,函數f(x)=|x|,x∈[0,2]與函數f(x)=|x|,x∈[-2,0].
3.分段函數
若函數在其定義域內,對于定義域內的不同取值區(qū)間,有著不同的對應關系,這樣的函數通常叫做分段函數.分段函數雖然由幾部分組成,但它表示的是一個函數.
提醒:分段函數是一個函數,而不是幾個函數,分段函數的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.