知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系
函數(shù)的單調(diào)性是怎么定義的?判斷單調(diào)性的方法有哪些?
提示:如果函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的某區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說該函數(shù)在區(qū)間D上具有單調(diào)性.
判斷單調(diào)性的方法有定義法和圖象法.
觀察下面一些函數(shù)的圖象,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.
提示:對(duì)于(1)y=x在R上是增函數(shù),而y′=1>0;
對(duì)于(2)y=x2在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù),而y′=2x,當(dāng)x<0時(shí),y′<0;當(dāng)x>0時(shí)y′>0;
對(duì)于(3)y=x3在R上是增函數(shù),而y′=3x2>0(x≠0);
對(duì)于(4)y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數(shù),而y′=-<0.
知識(shí)梳理 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
(1)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系:
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導(dǎo)數(shù)
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函數(shù)的單調(diào)性
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f′(x)>0
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單調(diào)遞增
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f′(x)<0
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單調(diào)遞減
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f′(x)=0
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常函數(shù)
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(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:
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函數(shù)的單調(diào)性
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導(dǎo)數(shù)
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單調(diào)遞增
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f′(x)≥0
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單調(diào)遞減
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f′(x)≤0
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常函數(shù)
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f′(x)=0
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特別提醒:(1)若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0,在其余的點(diǎn)恒有f′(x)>0,則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).
(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.