[例] 已知函數(shù)f(x)=1+x-+-+…+,g(x)=1-x+-+-…-,設函數(shù)F(x)=f(x+2)·g(x-3),且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內,求b-a的最小值.
[解析] f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2 018=>0,
所以f(x)在[a,b](a<b,a,b∈Z)上為增函數(shù),至多有一個零點.
f(-1)=1+(-1)-+-…+=---…-<0,
f(0)=1>0,所以f(x)的零點x滿足-1<x<0,所以f(x+2)的零點x1滿足-1<x1+2<0,則-3<x1<-2.
g′(x)=-1+x-x2+x3-…-x2 018=-<0,
所以g(x)在[a,b](a<b,a,b∈Z)上為減函數(shù),至多有一個零點.
g(1)=1-1+-+…+->0,g(2)<0,
所以g(x)的零點x滿足1<x<2,所以g(x-3)的零點x2滿足1<x2-3<2,所以4<x2<5,
故b-a的最小值為5-(-3)=8.
[破題技法] 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法
(1)直接解方程法,令f(x)=0,如果能求出解,那么有幾個解就有幾個零點;(2)利用零點的存在性定理,定理的使用前提不僅要求函數(shù)圖像在區(qū)間[a,b]上是連接不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還要注意結合函數(shù)的圖像與性質才能確定函數(shù)有多少個零點;(3)數(shù)形結合法,將原問題轉化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題.