1.奇、偶函數(shù)的一個(gè)必要不充分條件
奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件.
2.奇偶性的兩個(gè)等價(jià)定義在定義域內(nèi)恒有若f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0),則f(x)為奇函數(shù),
若f(-x)-f(x)=0或=1(f(x)≠0),則f(x)為偶函數(shù).
3.奇偶性的六個(gè)重要結(jié)論
(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.
(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值,取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù);奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù),取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).