10.3 頻率與概率
[目標(biāo)] 1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性;2.了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別;3.學(xué)會用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率.
[重點(diǎn)] 隨機(jī)事件的不確定性和頻率的穩(wěn)定性.
[難點(diǎn)] 頻率與概率的區(qū)別.
要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)
知識點(diǎn)一 頻率與概率
[填一填]
1.頻率的穩(wěn)定性
大量試驗(yàn)表明,在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中,一個隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).
2.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系
(1)頻率是概率的近似,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會越來越接近概率,頻率本身是隨機(jī)的試驗(yàn)前是不能確定的.
(2)概率揭示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,是一個確定的常數(shù),與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān),概率可以通過頻率來測量,某事件在n次試驗(yàn)中發(fā)生了nA次,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時,就將作為事件A發(fā)生的概率的近似值,即P(A)=.
(3)求一個隨機(jī)事件的概率的方法是根據(jù)定義通過大量的重復(fù)試驗(yàn)用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率;任何事件A的概率P(A)總介于0和1之間,即0≤P(A)≤1,其中必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.
[答一答]
1.小明說:“做10次拋硬幣試驗(yàn),正面向上的次數(shù)一定是5次”,這種說法對嗎?
提示:不正確.因?yàn)槊看卧囼?yàn)結(jié)果都是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定正面向上的次數(shù).
知識點(diǎn)二 隨機(jī)模擬
[填一填]
1.隨機(jī)模擬產(chǎn)生的原因
用頻率估計(jì)概率,需要做大量的重復(fù)試驗(yàn),費(fèi)時、費(fèi)力,甚至難以實(shí)現(xiàn).
2.隨機(jī)模擬的方法
利用計(jì)算器或計(jì)算軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)(根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)).
[答一答]
2.用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)(蒙特卡洛法)的步驟是什么?
提示:①用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),并賦予每個隨機(jī)數(shù)一定的意義;
②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個數(shù)N;
③計(jì)算頻率fn(A)=作為所求概率的近似值.
典例講練破題型
類型一 頻率與概率的理解
[例1] (1)請班內(nèi)四位同學(xué)依次、分別拋擲一枚硬幣20次,其他同學(xué)觀看并且記錄硬幣正面朝上的次數(shù),比較他們的結(jié)果一致嗎?為什么會出現(xiàn)這樣的情況?
(2)歷史上曾有人作過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn),結(jié)果如下表所示:
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拋擲次數(shù)
|
正面向上的次數(shù)
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正面向上的比例
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2 048
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1 061
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0.518 1
|
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4 040
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2 048
|
0.506 9
|
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12 000
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6 019
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0.501 6
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(續(xù)表)
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拋擲次數(shù)
|
正面向上的次數(shù)
|
正面向上的比例
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24 000
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12 012
|
0.500 5
|
|
30 000
|
14 984
|
0.499 5
|
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72 088
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36 124
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0.501 1
|
在上述拋擲硬幣的試驗(yàn)中,你會發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律?
(3)在拋擲硬幣試驗(yàn)中,把正面向上的比例稱作正面向上的頻率,你能給頻率下個定義嗎?
(4)拋擲硬幣試驗(yàn)表明,正面朝上在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的,但是在大量重復(fù)試驗(yàn)后,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,正面朝上發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性,這個規(guī)律性是如何體現(xiàn)出來的?
(5)在相同條件下,事件A在先后兩次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率fn(A)是否一定相等?事件A在先后兩次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P(A)是否一定相等?