10.2 事件的相互獨(dú)立性
[目標(biāo)] 1.理解相互獨(dú)立事件的定義及意義;2.理解概率的乘法公式.
[重點(diǎn)] 掌握綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式及獨(dú)立事件的乘法公式解題.
[難點(diǎn)] 理解相互獨(dú)立事件的定義及意義.
要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)
知識(shí)點(diǎn) 事件的相互獨(dú)立性
[填一填]
1.定義
對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.
2.性質(zhì)
當(dāng)事件A,B相互獨(dú)立時(shí),A與,與B,與也相互獨(dú)立.
3.n個(gè)事件相互獨(dú)立
對(duì)于n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果其中任一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響,則稱n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.
4.n個(gè)相互獨(dú)立事件的概率公式
如果事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)×P(A2)×…×P(An),并且上式中任意多個(gè)事件Ai換成其對(duì)立事件后等式仍成立.
[答一答]
甲、乙兩人練習(xí)射擊,命中目標(biāo)的概率分別為和,甲、乙兩人各射擊一次,有下列說(shuō)法:①目標(biāo)恰好被命中一次的概率為+;②目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為×;③目標(biāo)被命中的概率為×+×;④目標(biāo)被命中的概率為1-×.
以上正確說(shuō)法的序號(hào)是②④.
解析:①錯(cuò)誤,目標(biāo)恰好被命中一次的概率為×+×;②正確,目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為×;目標(biāo)被命中的概率為1-×,所以③錯(cuò)誤,④正確.
典例講練破題型
類型一 相互獨(dú)立事件的判斷
[例1] 判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件.
(1)甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;
(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球,“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的還是白球”;
(3)擲一顆骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”.
[分析] (1)利用獨(dú)立性概念的直觀解釋進(jìn)行判斷.(2)計(jì)算“從8個(gè)球中任取一球是白球”發(fā)生與否,事件“從剩下的7個(gè)球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進(jìn)行判斷.(3)利用事件的獨(dú)立性定義式判斷.
[解] (1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響,所以它們是相互獨(dú)立事件.
(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”的概率為,若這一事件發(fā)生了,則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的仍是白球”的概率為;若前一事件沒(méi)有發(fā)生,則后一事件發(fā)生的概率為,可見,前一事件是否發(fā)生,對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響,所以二者不是相互獨(dú)立事件.
(3)記A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,B=“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,則A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
∴P(A)==,P(B)==,P(A∩B)=.∴P(A∩B)=P(A)P(B),
∴事件A與B相互獨(dú)立.