10.1.4 概率的基本性質(zhì)
[目標(biāo)] 掌握概率的基本性質(zhì)并能運(yùn)用這些性質(zhì)求一些簡(jiǎn)單事件的概率.
[重點(diǎn)] 概率基本性質(zhì)的理解.
[難點(diǎn)] 概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用.
要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)
知識(shí)點(diǎn) 概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
[填一填]
(1)對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0.
(2)必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(∅)=0.
(3)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
(5)如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).
(6)設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
[答一答]
1.(1)若A,B為互斥事件,則( D )
A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1
(2)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率的范圍是( D )
A.P(A)>0 B.P(A)<1
C.0<P(A)<1 D.0≤P(A)≤1
解析:(1)由互斥事件的定義可知,選D.
(2)必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0,隨機(jī)事件的概率在[0,1]上.故選D.
2.若事件P(A)+P(B)=1,事件A與事件B是否一定對(duì)立?試舉例說(shuō)明.
提示:事件A與事件B不一定對(duì)立.例如:拋擲一枚均勻的骰子,記事件A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,事件B=“出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)”,則P(A)+P(B)=+=1.當(dāng)出現(xiàn)2點(diǎn)時(shí),事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,所以事件A與事件B不互斥,顯然也不對(duì)立.
典例講練破題型
類(lèi)型一 互斥事件概率加法公式的應(yīng)用
[例1] 某射手在一次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán),7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中:
(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率;
(2)超過(guò)7環(huán)的概率.
[分析] 先設(shè)出事件,判斷是否互斥或?qū)α,然后再使用概率公式求解?/div>
[解] (1)設(shè)A=“射中10環(huán)”,B=“射中7環(huán)”,由于在一次射擊中,A與B不可能同時(shí)發(fā)生,故A與B是互斥事件.A∪B=“射中10環(huán)或7環(huán)”.
故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.
(2)設(shè)E=“超過(guò)7環(huán)”,則事件E=“射中8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”,由(1)可知“射中8環(huán)”“射中9環(huán)”等彼此是互斥事件,
所以P(E)=0.21+0.23+0.25=0.69,
所以超過(guò)7環(huán)的概率是0.69.
對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件,一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件,當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí),原事件的概率等于這些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推廣為:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).其使用的前提條件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.故解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于分解事件及確立事件是否互斥.