7.3.5 已知三角函數(shù)值求角
[課程目標(biāo)] 1.會由已知三角函數(shù)值求角.
2.了解反正弦、反余弦、反正切的意義,并會用符號arcsinx,arccosx,arctanx表示角.
3.已知三角函數(shù)值,會使用計算器求角.
[填一填]
1.已知正弦值,求角
對于正弦函數(shù)y=sinx,如果已知函數(shù)值y(y∈[-1,1]),那么在上有唯一的x值和它對應(yīng),記作x=arcsiny.
2.已知余弦值,求角
對于余弦函數(shù)y=cosx,如果已知函數(shù)值y(y∈[-1,1]),那么在[0,π]上有唯一的x值和它對應(yīng),記作x=arccosy(-1≤y≤1,0≤x≤π).
3.已知正切值,求角
如果正切函數(shù)y=tanx(y∈R)且x∈,那么對每一個正切值y,在開區(qū)間內(nèi)有且只有一個角x,使tanx=y,記作x=arctany.
[答一答]
1.如何理解反正弦函數(shù)?
提示:(1)已知三角函數(shù)值求角,實際上是求三角函數(shù)的反函數(shù)問題,根據(jù)反函數(shù)的概念,當(dāng)函數(shù)由定義域到值域一一對應(yīng)時,才存在反函數(shù),也就是說,在函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間上,該函數(shù)才有反函數(shù),因此arcsiny(其中|y|≤1)只表示上正弦值等于y的角,原因是是函數(shù)y=sinx的一個單調(diào)區(qū)間,對于每一個可能的值y(|y|≤1),在這個區(qū)間上都有唯一的x值和它對應(yīng);反之,對于上每一個x的值,在區(qū)間[-1,1]上都有唯一的y值和它對應(yīng),因此,函數(shù)y=sinx在上存在反函數(shù),并且把這個反函數(shù)記為x=arcsiny,因此它的定義域為[-1,1],值域為.
(2)要熟練地記住下列特殊的y值對應(yīng)的角,arcsin=±;arcsin=±;arcsin=±等.對于非特殊值,要會用反三角符號表示角,如sinx=時,x=arcsin,
若sinx=-時,x=arcsin=-arcsin.即y=arcsinx表示內(nèi)的一個角.
2.怎樣由三角函數(shù)值求角?
提示:已知角x的一個三角函數(shù)值,求角x,所得的角不一定只有一個,角的個數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來確定,這個范圍應(yīng)該在題目中給定.如果在這個范圍內(nèi)符合要求的角不止一個,且當(dāng)三角函數(shù)值不是1或0時,可以分為以下幾步來解決:
第一步,確定角x可能是第幾象限角.確定的方法有兩種:一是借助單位圓運用三角函數(shù)線來判斷,根據(jù)已知的三角函數(shù)值,畫出相應(yīng)的三角函數(shù)線.二是借助三角函數(shù)的圖像來思考.
第二步,如果函數(shù)值為正數(shù),則先求出對應(yīng)的銳角x1;如果函數(shù)值為負(fù)數(shù),則先求出與其絕對值對應(yīng)的銳角x1.
第三步,如果函數(shù)值為負(fù)數(shù),則根據(jù)角x可能是第幾象限角,得出(0,2π)內(nèi)對應(yīng)的角.如果是第二象限角,那么可表示為-x1+π,如果是第三或第四象限角,那么可表示為x1+π或-x1+2π.
第四步,如果要求出(0,2π)以外對應(yīng)的角,可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果.
具體見下表: