7.2.3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
[課程目標(biāo)] 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1,=tanx.
2.會(huì)運(yùn)用以上兩個(gè)基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明.
3.通過(guò)學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律,培養(yǎng)辯證唯物主義觀.
[填一填]
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常見(jiàn)變形
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形有:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=cosαtanα,cosα=(tanα≠0),(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,=1等.
在三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明中經(jīng)常用到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其變形公式,要注意靈活運(yùn)用,掌握一些轉(zhuǎn)化技巧,如“1”的代換(1=sin2α+cos2α),化切為弦,化弦為切等.
[答一答]
證明三角恒等式有哪些常用方法?
提示:證明恒等式的過(guò)程就是通過(guò)轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊的差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程,證明方法常用如下幾種:
(1)從不等式的一邊證得它的另一邊,一般從比較復(fù)雜的一邊開(kāi)始化簡(jiǎn)到另一邊,其依據(jù)是等式的傳遞性;
(2)綜合法:由一個(gè)已知等式或公式恒等變形得到要證明的等式,其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想;
(3)證明左、右兩邊都等于同一個(gè)式子(或值),其依據(jù)是等式的傳遞性;
(4)差比法:證明“左邊-右邊=0”.
類型一 利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求值
[例1] 已知tanα=-2,求sinα,cosα的值.
[分析] 由tanα得出sinα與cosα的關(guān)系,結(jié)合sin2α+cos2α=1,即可得出答案.
[解] ∵tanα=-2,∴α是第二、四象限角,
又由tanα=-2得sinα=-2cosα.
(1)當(dāng)α為第二象限角時(shí),
⇒5cos2α=1,
∵cosα<0,∴cosα=-,sinα=-2×=.
(2)當(dāng)α為第四象限角時(shí),
⇒5cos2α=1,
∵cosα>0,
∴cosα=,sinα=-2×=-.
綜合(1)(2)知:當(dāng)α為第二象限角時(shí),
cosα=-,sinα=,
當(dāng)α為第四象限角時(shí),cosα=,sinα=-.