7.2 任意角的三角函數(shù)
7.2.1 三角函數(shù)的定義
[課程目標(biāo)] 1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義.
2.理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).
3.通過任意角三角函數(shù)的定義,認(rèn)識(shí)到銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例,加深對特殊與一般關(guān)系的理解.
[填一填]
1.任意角的三角函數(shù)
以角α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以角α的始邊的方向作為x軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示),并且使∠xOy=90°.
在角α終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),則OP的長度記為r=.
(1)稱為角α的正弦,記作sinα,即sinα=,定義域?yàn)閧α|α∈R};
(2)稱為角α的余弦,記作cosα,即cosα=,定義域?yàn)閧α|α∈R};
(3)稱為角α的正切,記作tanα,即tanα=,定義域?yàn)?
這三個(gè)對應(yīng)法則都是以α為自變量的函數(shù),分別叫做角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù).
2.三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)
[答一答]
1.如何理解三角函數(shù)的定義?
提示:(1)各三角函數(shù)都是以實(shí)數(shù)為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù),其關(guān)系如圖所示.
這樣,三角函數(shù)就像前面研究的其他基本初等函數(shù)一樣,都是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)了.
(2)設(shè)角α是一個(gè)任意大小的角,在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),P到原點(diǎn)的距離|OP|=r,則sinα=,cosα=,tanα=.,,這三個(gè)比值的大小都與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān),而只與角的大小有關(guān),這是因?yàn)椋喝鐖D△OQQ1∽△OPP1,∴=,=,….
2.一個(gè)角的正弦、余弦、正切在各個(gè)象限的符號(hào)如何?
提示:三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標(biāo)符號(hào)導(dǎo)出的.從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離r總是正值.根據(jù)三角函數(shù)定義知:正弦值符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào),余弦值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào),正切值則是x、y同號(hào)為正,異號(hào)為負(fù).
三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)判別記憶規(guī)律如下:一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的終邊在第一象限時(shí),各種三角函數(shù)值的符號(hào)全為正號(hào);“二正弦”是指第二象限僅正弦為正;“三正切”是指第三象限僅正切為正;“四余弦”是指第四象限僅余弦為正).