7.2.2 復(fù)數(shù)的乘、除運算
[目標] 1.掌握復(fù)數(shù)的乘法法則,能熟練地進行復(fù)數(shù)的乘法運算;2.理解共軛復(fù)數(shù)的意義;3.掌握復(fù)數(shù)的除法法則,能熟練地進行復(fù)數(shù)的除法運算.
[重點] 復(fù)數(shù)的乘法與除法的運算法則.
[難點] 復(fù)數(shù)的除法運算.
要點整合夯基礎(chǔ)
知識點一 復(fù)數(shù)的乘法運算
[填一填]
1.復(fù)數(shù)的乘法法則
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
則z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.復(fù)數(shù)的乘法滿足的運算律
對任意z1、z2、z3∈C,有
[答一答]
1.兩個復(fù)數(shù)的乘法運算法則類似多項式的乘法法則,多個復(fù)數(shù)的乘法呢?
提示:多個復(fù)數(shù)的乘積運算也類似多項式相乘的規(guī)律,把復(fù)數(shù)逐一相乘,再分別合并實部、虛部.
2.若z1,z2∈C,(z1+z2)2=z+2z1·z2+z是否成立?
提示:成立.復(fù)數(shù)的乘法(乘方)類似于實數(shù)范圍內(nèi)的多項式的乘法(乘方),只不過是在運算中遇到i2時就將其換為-1,因此在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),完全平方公式、平方差公式等仍然成立.
知識點二 復(fù)數(shù)的除法運算
[填一填]
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則
(a+bi)÷(c+di)==+i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
[答一答]
3.復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是怎樣的?
提示:復(fù)數(shù)除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化的過程,兩個復(fù)數(shù)相除,就是先把它們的商寫成分數(shù)的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再把結(jié)果化簡即可.
典例講練破題型
類型一 復(fù)數(shù)的乘法運算
[例1] (1)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a+i=2-bi,則(a+bi)2=( )
A.3-4i B.3+4i
C.4-3i D.4+3i
(2)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(1+i)=bi,則a+bi=________.
[分析] 復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的,有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成-1,再把實部、虛部分別合并.
[解析] (1)∵a,b∈R,a+i=2-bi,
∴a=2,b=-1,
∴(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.
(2)因為(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,a,b∈R,所以
解得所以a+bi=1+2i.
[答案] (1)A (2)1+2i