7.2 復數的四則運算
7.2.1 復數的加、減運算及其幾何意義
素養(yǎng)目標·定方向
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素養(yǎng)目標
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學法指導
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1.掌握復數代數形式的加、減運算法則,并會簡單應用.(數學運算)
2.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.(直觀想象)
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1.類比向量加、減的坐標運算,感受和把握復數的加、減運算.
2.類比向量運算的平行四邊形法則與三角形法則,感受和把握復數加、減法的幾何意義.
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必備知識·探新知
知識點1 復數的加、減法運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
則z1+z2=__(a+c)+(b+d)i__,
z1-z2=__(a-c)+(b-d)i__.
知識點2 復數加法的運算律
(1)交換律:__z1+z2=z2+z1__;
(2)結合律:(z1+z2)+z3=__z1+(z2+z3)__.
知識點3 復數加、減法的幾何意義
如圖,設在復平面內復數z1,z2對應的向量分別為,,以OZ1,OZ2為鄰邊作平行四邊形,則與z1+z2對應的向量是____,與z1-z2對應的向量是____.
[知識解讀] 對復數的加法、減法運算應注意以下幾點
(1)一種規(guī)定:復數代數形式的加法法則是一種規(guī)定,減法是加法的逆運算;
特殊情形:當復數的虛部為零時,與實部的加法、減法法則一致.
(2)運算律:實數加法的交換律、結合律在復數集中仍成立.實數的移項法則在復數中仍然成立.
(3)運算結果:兩個復數的和(差)是唯一確定的復數.
關鍵能力·攻重難
題型探究
題型一 復數代數表示式的加、減法運算
典例1 (1)計算:(2-3i)+(-4+2i)=__-2-i__.
(2)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y為實數,若z1-z2=5-3i,則|z1+z2|=____.
[分析] 直接運用復數的加減運算法則進行計算.
[解析] (1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
(2)z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得x=1,y=0,
所以z1=3-2i,z2=-2+i,則z1+z2=1-i,
所以|z1+z2|=.
[歸納提升] 復數加、減運算的法則
(1)復數代數形式的加、減法運算實質就是將實部與虛部相加減,虛部與虛部相加減之后分別作為結果的實部與虛部,因此要準確地提取復數的實部與虛部.
(2)復數的運算可以類比多項式的運算(類似于合并同類項):若有括號,括號優(yōu)先;若無括號,可以從左到右依次進行計算.