6.4 平面向量的應(yīng)用
6.4.1 平面幾何中的向量方法
[目標(biāo)] 1.通過平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問題的“三步曲”;2.明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.
[重點(diǎn)] 用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法:向量法解決幾何問題的“三步曲”.
[難點(diǎn)] 如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題.
要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)
知識(shí)點(diǎn)一 向量方法在幾何中的應(yīng)用
[填一填]
對于平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)證明線段平行問題,包括相似問題,常用向量平行(共線)的等價(jià)條件:
a∥b(b≠0)⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.
(2)證明垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等價(jià)條件:非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(3)求夾角問題,往往利用向量的夾角公式cosθ==.
(4)求線段的長度或證明線段相等,可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式:|a|=或=.
[答一答]
1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),a=,如何用坐標(biāo)表示a和|a|?
提示:a=(x2-x1,y2-y1),
|a|=.
知識(shí)點(diǎn)二 平面幾何中的向量方法
[填一填]
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.
[答一答]
2.用向量可以解決平面幾何中的哪些問題?
提示:(1)證明線段平行或相等,可以用向量的數(shù)乘、向量共線定理.
(2)證明線段垂直,可以用向量的數(shù)量積運(yùn)算.
(3)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,可以求線段的長度、夾角及平面圖形的面積.