6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
[目標(biāo)] 1.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積;2.能夠用向量坐標(biāo)求數(shù)量積、模及兩個(gè)向量的夾角;3.能夠利用坐標(biāo)判斷向量的垂直關(guān)系.
[重點(diǎn)] 用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積.
[難點(diǎn)] 用坐標(biāo)求向量的模及兩向量的夾角.
要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)
知識(shí)點(diǎn)一 面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
[填一填]
設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.
[答一答]
1.公式a·b=|a||b|cosθ與a·b=x1x2+y1y2有什么區(qū)別與聯(lián)系?
提示:兩個(gè)公式都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的,沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別,只是書寫形式的差異,可以相互推導(dǎo);若題目給出的是兩向量的模與夾角,則可直接利用a·b=|a||b|·cosθ求解,若已知兩向量的坐標(biāo),則可選用a·b=x1x2+y1y2求解.
知識(shí)點(diǎn)二 平面向量長(zhǎng)度(模)的坐標(biāo)表示
[填一填]
若向量a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=.
其含義是:向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.
[答一答]
2.對(duì)于任意的非零向量a=(x,y),如何用坐標(biāo)表示與向量a同向的單位向量?
提示:記向量a的單位向量為a0,則a0=,且|a|=,所以a0==(x,y)=(,),此為與向量a=(x,y)同向的單位向量.
3.若A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣求線段AB的長(zhǎng)度?
提示:由于=(x2-x1,y2-y1)且線段AB的長(zhǎng)度等于向量的模,所以線段AB=||=.
知識(shí)點(diǎn)三 兩向量垂直的坐標(biāo)表示
[填一填]
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
[答一答]
4.已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b與a⊥b的坐標(biāo)表示有何區(qū)別?
提示:若a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0.
若a⊥b⇔x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0.
兩個(gè)結(jié)論不能混淆,可以對(duì)比學(xué)習(xí),分別簡(jiǎn)記為:縱橫交錯(cuò)積相等,橫橫縱縱積相反.
知識(shí)點(diǎn)四 平面向量夾角的坐標(biāo)表示
[填一填]
設(shè)a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,則cosθ==(0≤θ≤π).
[答一答]