6.3.4 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
[目標(biāo)] 1.會(huì)實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)表示;2.記住兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示;3.能夠應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示解決相關(guān)問(wèn)題.
[重點(diǎn)] 向量共線的坐標(biāo)表示.
[難點(diǎn)] 向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.
要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)
知識(shí)點(diǎn)一 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示及中點(diǎn)坐標(biāo)公式
[填一填]
(1)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo);
(2)設(shè)向量a=(x1,y1),則λa=(λx1,λy1).
(3)中點(diǎn)坐標(biāo)公式:若P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則
[答一答]
1.已知A(-5,-1),B(3,-2),則-的坐標(biāo)為(-4,).
解析:=(3,-2)-(-5-1)=(8,-1),
∴-=(-4,).
知識(shí)點(diǎn)二 兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示
[填一填]
(1)向量a,b共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
(2)向量共線的坐標(biāo)表示的推導(dǎo)
①設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,則a∥b⇔a=λb(λ∈R).
上式若用坐標(biāo)表示,可寫為a∥b⇔(x1,y1)=λ(x2,y2),
即a∥b⇔⇔x1y2-x2y1=0.
②設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)=0時(shí),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
綜上①②,向量共線的坐標(biāo)表示為a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
[答一答]
2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x1y2-x2y1=0,是否對(duì)于任意兩向量都成立?還需注明b≠0嗎?
提示:在向量共線定理中,a∥b⇔a=λb(λ∈R)必需注明b≠0,而在“本問(wèn)”中當(dāng)b=0時(shí)也成立,故不需注明b≠0.
3.當(dāng)兩個(gè)非零向量共線時(shí),通過(guò)坐標(biāo)如何判斷它們是同向還是反向?
提示:當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)同號(hào)或同為零時(shí),同向.當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)或同為零時(shí),反向.
例如,向量(1,2)與(-1,-2)反向;向量(1,0)與(3,0)同向.
典例講練破題型
類型一 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
[例1] 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及的坐標(biāo).
[分析] 首先設(shè)出M、N的坐標(biāo),結(jié)合已知條件,分別建立關(guān)于M、N坐標(biāo)的方程.從而求得M,N的坐標(biāo)以及的坐標(biāo).