6.3 平面向量基本定理及坐標表示
6.3.1 平面向量基本定理
[目標] 1.了解平面向量基本定理產(chǎn)生的過程和基底的含義,理解平面向量基本定理;2.掌握平面向量基本定理并能熟練應(yīng)用.
[重點] 平面向量基本定理.
[難點] 平面向量基本定理的應(yīng)用.
要點整合夯基礎(chǔ)
知識點 平面向量基本定理
[填一填]
(1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
[答一答]
1.基底有什么特點?平面內(nèi)基底唯一嗎?
提示:基底中的兩向量e1,e2不共線,這是基底的最大特點.平面內(nèi)的基底并不是唯一的,任意不共線的兩個向量都可以作為基底.
2.如圖,設(shè)OA、OB、OC為三條共端點的射線,P為OC上一點,能否在OA、OB上分別找一點M、N,使=+?
提示:能. 過點P作OA、OB的平行線,分別與OB、OA相交,交點即為N、M.
3.若向量a,b不共線,且c=2a-b,d=3a-2b,試判斷c,d能否作為基底.
提示:設(shè)存在實數(shù)λ使得c=λd,則2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由于a,b不共線,從而2-3λ=2λ-1=0,這樣的λ是不存在的,從而c,d不共線,故c,d能作為基底.
典例講練破題型
類型一 基底的概念
[例1] 下面說法中,正確的是( )
①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;③零向量不可作為基底中的向量;④對于平面內(nèi)的任一向量a和一組基底e1,e2,使a=λe1+μe2成立的實數(shù)對一定是唯一的.
A.②④ B.②③④
C.①③ D.①③④
[解析] 因為不共線的任意兩個向量均可作為平面的一組基底,故②③正確,①不正確;由平面向量基本定理知④正確.綜上可得②③④正確.
[答案] B
根據(jù)平面向量基底的定義知,判斷能否作為基底問題可轉(zhuǎn)化為判斷兩個向量是否共線的問題,若不共線,則它們可以作為一組基底;若共線,則它們不能作為一組基底.
[變式訓(xùn)練1] 設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)所有向量的一個基底,則下列四組向量中,不能作為基底的是( B )
A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2
解析:在B中,因為6e1-8e2=2(3e1-4e2),所以(3e1-4e2)∥(6e1-8e2).所以3e1-4e2和6e1-8e2不能作為基底,其他三個選項中的兩組向量都不平行,故都可以作為一組基底.