6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
6.3.1 平面向量基本定理
素養(yǎng)目標(biāo)·定方向
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素養(yǎng)目標(biāo)
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學(xué)法指導(dǎo)
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1.了解基底的含義,理解并掌握平面向量基本定理,會用基底表示平面內(nèi)任一向量.(直觀想象)
2.能夠靈活運用平面向量基本定理解決相關(guān)問題.(數(shù)據(jù)分析)
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1.平面向量基本定理溝通了數(shù)與形,同時也進一步提出了基底的思想,在學(xué)習(xí)時要善于類比生活中的實例,如人民幣的基本組成,一些社會架構(gòu)組成的基本單位等.
2.在學(xué)習(xí)平面向量基本定理時要善于結(jié)合四邊形法則來理解,同時要結(jié)合充要條件來加以理解.
3.要充分利用平面直角坐標(biāo)系來加強對平面向量正交分解的理解.
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必備知識·探新知
知識點1 平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個__不共線__向量,那么對于這一平面內(nèi)的__任一__向量a,__有且只有一對__實數(shù)λ1,λ2,使a=__λ1e1+λ2e2__.
知識點2 基底
若e1,e2__不共線__,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)__所有__向量的一個基底.
[知識解讀] 對平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底給定時,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一確定的數(shù)值.
(3)e1,e2是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底,則當(dāng)a與e1共線時,λ2=0;當(dāng)a與e2共線時,λ1=0;當(dāng)a=0時,λ1=λ2=0.
(4)由于零向量與任何向量都是共線的,因此零向量不能作為基底中的向量.
關(guān)鍵能力·攻重難
題型探究
題型一 對基底概念的理解
典例1 (多選)如果e1、e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量,那么下列說法中不正確的是( BC )
A.a=λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量
B.對于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λe1+μe2的實數(shù)對(λ,μ)有無窮多個
C.若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則=
D.若實數(shù)λ、μ使得λe1+μe2=0,則λ=μ=0
[分析] 應(yīng)用平面向量基本定理解題時,要抓住基向量e1與e2不共線和平面內(nèi)向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解.
[解析] 由平面向量基本定理可知,A、D是正確的.對于B,由平面向量基本定理可知,一旦一個平面的基底確定,那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.對于C,當(dāng)λ1λ2=0或μ1μ2=0時不一定成立,應(yīng)為λ1μ2-λ2μ1=0.故選BC.
[歸納提升] (1)對于平面內(nèi)任一向量都可以用兩個不共線的向量來表示;反之,平面內(nèi)的任一向量也可以分解成兩個不共線的向量的和的形式.
(2)向量的基底是指平面內(nèi)不共線的兩個向量,事實上若e1,e2是基底,則必有e1≠0,e2≠0且e1與e2不共線,如0與e1,e1與2e1,e1+e2與2(e1+e2)等,均不能構(gòu)成基底.
【對點練習(xí)】? (1)如果e1,e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底,那么( A )
A.若實數(shù)m、n使得me1+ne2=0,則m=n=0
B.空間任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2為實數(shù)
C.對于實數(shù)m、n,me1+ne2不一定在此平面上
D.對于平面內(nèi)的某一向量a,存在兩對以上的實數(shù)m,n,使a=me1+ne2
(2)設(shè)e1、e2是不共線的兩個向量,給出下列四組向量:①e1與e1+e2;②e1-2e2與e2-2e1;③e1-2e2與4e2-2e1;④e1+e2與e1-e2.其中不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是__③__.(寫出所有滿足條件的序號)
[解析] (1)選項B中應(yīng)為“平面內(nèi)任一向量”,C中me1+ne2一定在此平面上,選項D中,m,n應(yīng)是唯一的,只有A正確.