6.2.4 向量的數(shù)量積
素養(yǎng)目標(biāo)·定方向
|
素養(yǎng)目標(biāo)
|
學(xué)法指導(dǎo)
|
|
1.理解平面向量的數(shù)量積的定義.(數(shù)學(xué)抽象)
2.了解投影向量的概念.(直觀想象)
3.了解向量的數(shù)量積與實數(shù)的乘法的區(qū)別.(數(shù)學(xué)運算)
4.掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律.(邏輯推理)
|
1.對于向量的學(xué)習(xí),關(guān)鍵是用好類比,即類比數(shù)的運算以及類比物理中矢量的運算.
2.物理中功的模型有助于我們更好地理解向量的數(shù)量積運算.
3.在研究向量的數(shù)量積運算時,類似于數(shù)的乘法運算中經(jīng)常要關(guān)注0一樣,要特別重視零向量的特殊性.
4.向量的投影是高維空間到低維空間的一種線性變換,得到的是低維空間向量.
|
必備知識·探新知
知識點1 向量的數(shù)量積
1.向量的夾角
(1)定義:已知兩個非零向量a,b,O是平面上任意一點,作=a,=b,則∠AOB=θ(__0__≤θ≤__π__)叫做向量a與b的夾角.
(2)性質(zhì):當(dāng)θ=__0__時,a與b同向;當(dāng)θ=__π__時,a與b反向.
(3)向量垂直:如果a與b的夾角是____,我們說a與b垂直,記作__a⊥b__.
2.向量的數(shù)量積
|
條件
|
非零向量a與b,它們的夾角為θ
|
|
結(jié)論
|
數(shù)量__|a||b|cos θ__叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)
|
|
記法
|
向量a與b的數(shù)量積記作a·b,即a·b=__|a||b|cos θ__
|
|
規(guī)定
|
零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__
|
3.向量a在b上的投影向量
(1)設(shè)a,b是兩個非零向量,=a,=b,我們考慮如下的變換:過的起點A和終點B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到,我們稱上述變換為向量a向向量b投影,叫做__向量a在向量b上__的投影向量.
(2)在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則就是向量a在向量b上的投影向量,且=__|a|cos θe__.
[知識解讀] (1)兩向量的數(shù)量積,其結(jié)果是數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積,其符號由夾角的余弦值決定,而向量的加減和實數(shù)與向量的積的結(jié)果仍是向量.
(2)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法,與以前學(xué)過的數(shù)的乘法是有區(qū)別的,在書寫時一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開來,決不可混淆.
知識點2 向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律
1.?dāng)?shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a,b是兩個非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則
(1)a·e=e·a=__|a|cos θ__.
(2)a⊥b⇔__a·b=0__.
(3)當(dāng)a,b同向時,a·b=__|a||b|__;當(dāng)a,b反向時,a·b=__-|a||b|__.特別地,a·a=__|a|2__或|a|= ____.
(4)|a·b|≤__|a||b|__.
(5)cos θ=____.
2.?dāng)?shù)量積的運算律
對于向量a,b,c和實數(shù)λ,有
(1)a·b=__b·a__(交換律).
(2)(λa)·b=__λ(a·b)__=__a·(λb)__(結(jié)合律).
(3)(a+b)·c=__a·c+b·c__(分配律).
[知識解讀] 向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用
性質(zhì)(1)表明任意向量與單位向量的數(shù)量積等于這個向量在單位向量e上的投影向量的長度.
性質(zhì)(2)可用于解決與兩個非零向量垂直有關(guān)的問題.