6.2.3 向量的數(shù)乘運(yùn)算
素養(yǎng)目標(biāo)·定方向
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素養(yǎng)目標(biāo)
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學(xué)法指導(dǎo)
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1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(直觀想象)
2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律,會進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法,并能熟練地運(yùn)用這些知識處理有關(guān)向量共線問題.(邏輯推理)
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1.要進(jìn)一步深化類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算,加強(qiáng)對向量的數(shù)乘運(yùn)算的理解,并且感受兩者的差異.
2.類比三角函數(shù)伸縮變換的特征感受向量的數(shù)乘運(yùn)算中向量伸縮的含義,進(jìn)一步理解兩個(gè)平面向量共線的含義.
3.進(jìn)一步深化對線性運(yùn)算幾何意義的理解,把握平面幾何中位置關(guān)系與向量共線之間的聯(lián)系.
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必備知識·探新知
知識點(diǎn)1 向量的數(shù)乘運(yùn)算
1.向量的數(shù)乘的定義
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)__向量__,這種運(yùn)算叫做向量的__數(shù)乘__,記作λa,它的長度與方向規(guī)定如下:
(1)|λa|=__|λ||a|__.
(2)λa(a≠0)的方向
由(1)知,當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,由(1)(2)知,(-1)a=-a.
2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律
設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù),那么
(1)λ(μa)=__(λμ)a__.
(2)(λ+μ)a=__λa+μa__.
(3)λ(a+b)=__λa+λb__.
特別地,我們有(-λ)a=-λa=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
3.向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=__λμ1a±λμ2b__.
[知識解讀] (1)λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小|λ|倍.
(2)λ是實(shí)數(shù),a是向量,它們的積λa仍然是向量.實(shí)數(shù)與向量可以相乘,但是不能相加減,如λ+a,λ-a均沒有意義.
(3)注意向量數(shù)乘的特殊情況:
①若λ=0,則λa=0;
②若a=0,則λa=0.
知識點(diǎn)2 向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使__b=λa__.
[知識解讀] 關(guān)于共線向量定理的說明:
(1)定理中,向量a為非零向量,即定理不包含0與0共線的情況.
(2)條件a≠0是必須的.否則當(dāng)a=0,b≠0時(shí),雖然b與a共線,但不存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa;當(dāng)a=0,b=0時(shí),λ可以是任意實(shí)數(shù).
(3)要證明向量a,b共線,只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa即可.
(4)若b=λa(λ∈R),則a與b共線.
(5)由本性質(zhì)定理知,若向量=λ,則,共線.又,有公共點(diǎn)A,從而A,B,C三點(diǎn)共線,這是證明三點(diǎn)共線的重要方法.